培优竞赛新方法九年级第3讲——第三讲 充满活力的韦达定理.docVIP

PAGE12 第三讲 充满活力的韦达定理 知识纵横 一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的． 韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值； 利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等． 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路． 韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法． 例题求解 【例1】(1)已知是方程的两个实数根，且，那么实数m的取值范围是_________ （河南省中考题） (2) 已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． （绍兴市竞赛题） 思路点拨 对于（1），运用根与系数关系建立m的不等式，但要注意判别式的制约；对于（2） 所求代数式为、的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为基本对称式解。 【例2】如果方程 的三根可以作为一个三角形的三边线之长，那么，实数m的取值范围是( ) A． B． C． D． （全国初中数学联赛题） 思路点拨 设方程的根分别为1、，由三角形三边关系定理、韦达定理建立m的不等式组。 【例3】 已知关于的方程： (1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根． (2)若这个方程的两个实根、满足，求m的值及相应的、． （苏州市中考题） 思路点拨 对于(2)，先判定、的符号特征，并从分类讨论入手． 【例4】 设、是方程的两个实数根，当m为何值时，有最小值?并求出这个最小值． （第16届江苏省竞赛题） 思路点拨 利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的． 注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性． 根的分布 【例5】为实数，ac0,且证明一元二次方程 有大于而小于 1 的根。 （全国初中数学联赛题） 学历训练 基础务实 1．方程的两个实数根分别为 ． （烟台市中考题） 2．已知关于x的方程有两个实数根，且 ． （淮安市中考题） 3.设、是方程 的两个根，且 则 （南通市中考题） 4．关于x的一元二次方程的 两个实数根分别是的值是 （ ） A.1 B.12 C.13 D.25 (包头市中考题) 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于的方程的两根，那么AB边上的中线长是( ) A． B． C．5 D．2 6．若关于x的方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． （天津市中考题） 7．已知关于的一元二次方程有两个实数根 。 （1）求实数m的取值范围。 （2）当时，求m的值。 （毕节市中考题） 8．已知关于的方程有两个实数根． 求p的取值范围； (2)若，求的值． （孝感市中考题） 能力拓展 9．已知方程的两根均为正整数，且，那么这个方程两根为 ． （“祖冲之杯”邀请赛） 10．已知整数p,q满足且关于x的一元二次方程的两个根均为正整数，则p= ． (“新知杯”上海市竞赛题) 11．△ABC的一边长为5，另两边长恰为方程的两根，则m的取值范围是