《三垂线定理-新人教[原创]》课件.pptVIP

* 三垂线定理 课件制作：醴陵五中 a A P o α 复习提问： 1。直线与平面垂直的定义。 2。直线与平面垂直的判定定理。 3。证明线面垂直的方法。 4。证明线线垂直的方法。 一、射影的概念 定义：自一点P向平面α引垂线，垂足P1 叫做P在平面α内的正射影（简称射影）。 . P α 如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成图形F1，则F1叫做图形F在这个平面内的射影。 思考： 1。两条异面直线在同一平面内的射影的位置关系如何？ 2。一个三角形在另一平面中的射影可能是什么图形？ 二、平面的斜线、垂线、射影 如果a α, a⊥AO， 思考a与PO的位置关 系如何？ a A P o α PO是平面α的斜线, O为斜足; PA是平面α的垂线, A为垂足; AO是PO在平面α内的射影. 三垂线定理 性质定理 判定定理 性质定理 线面垂直 ① 线线垂直 ② 线面垂直 ③ 线线垂直 PO 平面PAO a⊥PO ③ 结论：a⊥PO 二、三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 为什么呢？ PA⊥α a α ① PA⊥a AO⊥a ② a⊥平面PAO 三垂线定理 P a A o α 1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。 2、a与PO可以相交，也可以异面。 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理。 对三垂线定理的说明： 三垂线定理 用法：∵PA⊥α， a α，AO是斜线PO在平面α内的射影，a⊥AO ∴a⊥PO P a A o α 思考： 如果把定理中的条a⊥AO与结论a⊥PO互换，命题是否成立？ P a A o α 三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直。 用法： ∵PA⊥α， a α，AO是斜线PO在平面α内的射影， a⊥PO ∴ a⊥AO 说明：三垂线定理及其逆定理是证明线线垂 直的重要方法。 例题分析： 1、判定下列命题是否正确 (1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面 α内的射影，则a⊥b。 ( ) 2°定理的关键找“平面”这个参照学。 强调：1°四线是相对同一个平面而言 (2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线， 且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b。 ( ) × × 三垂线定理 2、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1， AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C ∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD 又DD1⊥平面ABCD ∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的 射影 ∵AC在平面AC内，∴BD1⊥AC A1 D1 C1 B1 A D C B 而AB1， AC相交于点A且都在平面 AB1C内 ∴BD1⊥平面AB1C 证明：连结BD， 请同学思考：如何证明D1B⊥AB1 连结A1B 三垂线定理 关于三垂线定的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。 至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。 从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序：一垂、 二射、三证。即 第一、找平面(基准面)及平面垂线 第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与 一条斜线。 三垂线定理 第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。 例3.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。 α A B C O P E F 已知：∠BAC在平面α内，点在α外，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥ α，垂足分别是E、F、O，PE=PF 求证：∠BAO=∠CAO 证明：连接PA，OE，OF∵ PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥ α， ∴AB⊥OE，AC⊥OF（三垂线定理的逆定理） ∵ PE=PF，PA=PA，∴Rt PAE≌Rt PAF。 ∴AE=AF又AO=AO∴，∴Rt AOE≌Rt AOF。 ∴ ∠BAO=∠CAO 例4、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角 器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？ 解：在道边取一点C， 使BC与道边所成水平角等于90°， 再在道边取一点D， 使水平角CDB等于45°， 测得C、D的距离等于20cm B A C 90° D 45° 三垂线定理 B A C 90° D 45° ∵BC