高中数学数列压轴题练习(江苏)及详解-高中课件精选.doc

高考 高中教育 高中数学数列压轴题练习（江苏）及详解 1.已知数列是公差为正数的等差数列,其前n项和为,且?,(Ⅰ)求数列的通项公式;?(Ⅱ)数列满足,①求数列的通项公式;?②是否存在正整数INCLUDEPICTURE \d 458c6e9185762e74dd27bf9e13fc0330 \* MERGEFORMATINET m,,使得,,成等差数列?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由. 解:(I)设数列的公差为d,则由?,,得,?计算得出?或(舍去).?;?(Ⅱ)①,,?,?,?即,,,,累加得:,?也符合上式.?故,.?????????②假设存在正整数m、,使得,,成等差数列,?则又,,,?,即,?化简得:当,即时,,(舍去);?当,即时,,符合题意.?存在正整数,,使得,,成等差数列. 解析 (Ⅰ)直接由已知列关于首项和公差的方程组,求解方程组得首项和公差,代入等差数列的通项公式得答案;?(Ⅱ)①把数列的通项公式代入,然后裂项,累加后即可求得数列的通项公式;?②假设存在正整数m、,使得,,成等差数列,则.由此列关于m的方程,求计算得出答案. 2.在数列中,已知,(1)求证:数列为等比数列;?(2)记,且数列的前n项和为,若为数列中的最小项,求的取值范围. 解:(1)证明:,?又,?,,?故,?是以3为首项,公比为3的等比数列(2)由(1)知道,, 若为数列中的最小项,则对有恒成立,?即对恒成立当时,有;?当时,有?;?当时,恒成立,?对恒成立.?令,则对恒成立,?在时为单调递增数列.?,即 综上, 解析 (1)由,整理得:.由,,可以知道是以3为首项,公比为3的等比数列;?(2)由(1)求得数列通项公式及前n项和为,由为数列中的最小项,则对有恒成立,分类分别求得当时和当的取值范围,?当时,,利用做差法,根据函数的单调性,即可求得的取值范围. 3.在数列?中,已知?,?,?,设?为?的前n项和.?(1)求证:数列?是等差数列;?(2)求?;?(3)是否存在正整数p,q,?,使?,?,?成等差数列?若存在,求出p,q,r的值;若不存在,说明理由. (1)证明:由,,?得到,?则又,?,?数列是以1为首项,以-2为公差的等差数列;?(2)由(1)可以推知:,?所以,,?所以,①?,②?①-②,得?,?,?,?所以(3)假设存在正整数p,q,,使,,成等差数列.?则,?即因为当时,,?所以数列单调递减.?又,?所以且q至少为2,?所以,①当时,,?又,?所以,等式不成立.?②当时,,?所以所以,?所以,(数列单调递减,解唯一确定).?综上可以知道,p,q,r的值分别是1,2,3. 解析 (1)把给出的数列递推式,,变形后得到新数列,该数列是以1为首项,以-2为公差的等差数列;?(2)由(1)推出的通项公式,利用错位相减法从而求得求;?(3)根据等差数列的性质得到,从而推知p,q,r的值. 4.已知n为正整数,数列?满足?,?,设数列?满足?(1)求证:数列?为等比数列;?(2)若数列?是等差数列,求实数t的值;?(3)若数列?是等差数列,前n项和为?,对任意的?,均存在?,使得?成立,求满足条件的所有整数?的值. (1)证明:数列满足,,??,?,?数列为等比数列,其首项为,公比为2;?(2)解:由(1)可得:?,?,数列是等差数列,,?,?计算得出或12.?时,,是关于n的一次函数,因此数列是等差数列.?时,,,不是关于n的一次函数,?因此数列不是等差数列.?综上可得;?(3)解:由(2)得,?对任意的,均存在,使得成立,?即有??,?化简可得,?当,,,对任意的,符合题意;?当,,当时,,?对任意的,不符合题意.?综上可得,当,,对任意的,均存在,?使得成立. 解析 (1)根据题意整理可得,?,再由等比数列的定义即可得证;?(2)运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质,可得,解方程可得t,对t的值,检验即可得到所求值;?(3)由(2)可得,对任意的,均存在,使得成立,即有??,讨论为偶数和奇数,化简整理,即可得到所求值. 5.已知常数?,数列?满足?,??(1)若?,?,?①求?的值;?②求数列?的前n项和?;?(2)若数列?中存在三项?,?,?依次成等差数列,求?的取值范围. 解:(1)①,?,?,?,?②,,?当时,,?当时,,即从第二项起,数列是以1为首项,以3为公比的等比数列,?数列的前n项和,,?显然当时,上式也成立,?;?(2),?,即单调递增.?(i)当时