高中数学求轨迹方程的六种常用技法-高中课件精选.doc

高考 PAGE 高中教育 求轨迹方程的六种常用技法 轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。 1．直接法 根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。 例1．已知线段，直线相交于，且它们的斜率之积是，求点 的轨迹方程。 解：以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立坐标系，则，设点的坐标为，则直线的斜率，直线的斜率 由已知有 化简，整理得点的轨迹方程为 练习： 1．平面内动点到点的距离与到直线的距离之比为2，则点的轨迹方程是 。 2．设动直线垂直于轴，且与椭圆交于、两点，是上满足的点，求点的轨迹方程。 3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 （　　） A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 2．定义法 通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。 例2．若为的两顶点，和两边上的中线长之和是，则的重心轨迹方程是_______________。 解：设的重心为，则由和两边上的中线长之和是可得 ，而点为定点，所以点的轨迹为以 为焦点的椭圆。 所以由可得 故的重心轨迹方程是 练习： 4．方程表示的曲线是 （　　） A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．抛物线 3．点差法 圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足， 且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程。 例3．椭圆中,过的弦恰被点平分,则该弦所在直线方程为_________________。 解：设过点的直线交椭圆于、，则有 ① ② ①②可得 而为线段的中点，故有 所以，即 所以所求直线方程为化简可得 练习： 5．已知以为圆心的圆与椭圆交于、两点，求弦的中点的轨迹方程。 6．已知双曲线，过点能否作一条直线与双曲线交于两点，使 为线段的中点？ 4．转移法 转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。 当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程： ①某个动点在已知方程的曲线上移动； ②另一个动点随的变化而变化； ③在变化过程中和满足一定的规律。 例4． 已知是以为焦点的双曲线上的动点，求的重心 的轨迹方程。 解：设 重心，点 ，因为 则有， 故代入 得所求轨迹方程　 例5．抛物线的焦点为,过点作直线交抛物线、两点,再以、为邻边作平行四边形，试求动点的轨迹方程。 解法一：（转移法）设，∵，∴平行四边形的中心为， 将，代入抛物线方程,得， 设，则 ① ∴， ∵为的中点.∴，消去得 ，由①得，，故动点的轨迹方程为。 解法二：（点差法）设，∵，∴平行四边形的中心为， 设，则有 ① ② 由①②得 ③ 而为的中点且直线过点，所以代入③可得，化简可得④ 由点在抛物线口内，可得⑤ 将④式代入⑤可得 故动点的轨迹方程为。 练习： 7．已知，在平面上动点满足，点是点关于直线的对称点，求动点的轨迹方程。 5．参数法 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。 例6．过点作直线交双曲线于、两点，已知。 （1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线； （2）是否存在这样的直线，使矩形？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。 解：当直线的斜率存在时，设的方程为，代入方程，得 因为直线与双曲线有两个交点，所以，设，则 ① 设，由 得 ∴ 所以，代入可得，化简得 即 ② 当直线的斜率不存在时，易求得满足方程②，故所求轨迹方程为，其轨迹为双