高中物理竞赛经典方法 6递推法-高中课件精选.doc

高考 高中教育 PAGE 六、递推法 方法简介 递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况。 即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式。 具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论。 再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。 用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式。 塞题精析 例1：质点以加速度a从静止出发做直线运动，在某时刻t ，加速度变为2a ；在时刻2t ，加速度变为3a ；… ；在nt时刻，加速度变为(n + 1) a ，求： （1）nt时刻质点的速度； （2）nt时间内通过的总路程。 解析：根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解。 （1）物质在某时刻t末的速度为vt = at 2t末的速度为v2t = vt + 2at 即v2t = at + 2at 3t末的速度为v3t = v2t + 3at = at + 2at + 3at …… 则nt末的速度为vnt = v(n－)t + nat = at + 2at + 3at + … + nat = at (1 + 2 + 3 + … + n) = at(n + 1)n =n (n + 1)at （2）同理：可推得nt内通过的总路程s =n (n + 1)(2n + 1)at2 例2：小球从高h0 = 180m处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小（n = 2），求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程。（g取10m/s2） 解析：小球从h0高处落地时，速率v0 == 60m/s 第一次跳起时和又落地时的速率v1 = 第二次跳起时和又落地时的速率v2 = …… 第m次跳起时和又落地时的速率vm = 每次跳起的高度依次为h1 ==，h2 ==，……， 通过的总路程Σs = h0 + 2h1 + 2h2 + … + 2hm + … = h0 +(1 +++ … ++ …) = h0 += h0=h0 = 300m 经过的总时间为Σt = t0 + t1 + t2 + … + tm + … =++ … ++ … =［1 + 2+ … + 2()m + …］ ===18s 例3：A 、B 、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v ，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？ 解析：由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图6—1所示。所以要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解。 设经时间t可捕捉猎物，再把t分为n个微小时间间隔Δt ，在每一个Δt内每只猎犬的运动可视为直线运动，每隔Δt ，正三角形的边长分别为a1 、a2 、a3 、… 、an ，显然当an→0时三只猎犬相遇。 a1 = a－AA1－BB1cos60°= a－vΔt a2 = a1－vΔt = a－2×vΔt a3 = a2－vΔt = a－3×vΔt …… an = a－nvΔt 因为a－nvΔt = 0 ，即nΔt = t 所以：t = （此题还可用对称法，在非惯性参考系中求解。） 例4：一列进站后的重载列车，车头与各节车厢的质量相等，均为m ，若一次直接起动，车头的牵引力能带动30节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动多少节同样质量的车厢？ 解析：若一次直接起动，车头的牵引力需克服摩擦力做功，使各节车厢动能都增加，若利用倒退起动，则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但各节车厢起动的动能则不同。 原来挂钩之间是张紧的，倒退后挂钩间存在Δs的宽松距离，设火车的牵引力为F ，则有： 车头起动时，有：(F－μmg) Δs =m 拉第一节车厢时：(m + m)= mv1 故有：==(－μg) Δs (F－2μmg) Δs =×2m－×2m 拉第二节车厢时：(m + 2m)= 2mv2 故同样可得：==(－μg) Δs …… 推理可得：=(－μg) Δs 由＞0可得：F＞μmg 另由题意知F = 31μmg ，得：n＜46 因此该车头倒退起动时，能起动45节相同质量的车厢。 例5 有n块质量均为m ，厚度为d的相同砖块，平放在水平地面上，现