高中数学：柯西不等式-高中课件精选.doc

类型一：利用柯西不等式求最值的最大值解：∵且， 函数的定义域为，且，　　　　 即时函数取最大值，最大值为法二：∵且， ∴函数的定义域为 由，得即，解得∴时函数取最大值，最大值为. 当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解 【变式1】设　且，求的最大值及最小值。　利用柯西不等式得,故最大值为10，最小值为-10 【变式2】已知，，求的最值.　法一：由柯西不等式　 于是的最大值为，最小值为. 法二：由柯西不等式　　 于是的最大值为，最小值为. 【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．　根据柯西不等式 　　，　　故。　当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，此时，　变式4：设( (1，0，( 2)，( (x，y，z)，若x2 ( y2 ( z2 ( 16，则的最大值为　　　　　。 【解】∵　( (1，0，( 2)，( (x，y，z)　∴　．( x ( 2z由柯西不等式[12 ( 0 ( (( 2)2](x2 ( y2 ( z2) ( (x ( 0 ( 2z)2(　5 ( 16 ( (x ( 2z)2　(　( 4( x ( 4(　( 4( ． ( 4，故．的最大值为4: 变式5：设x，y，z ( R，若x2 ( y2 ( z2 ( 4，则x ( 2y ( 2z之最小值为　　时，(x，y，z) ( 　　　　　 解(x ( 2y ( 2z)2 ( (x2 ( y2 ( z2)[12 ( ( ( 2) 2 ( 22] ( 4．9 ( 36∴　x ( 2y ( 2z最小值为 ( 6，公式法求 (x，y，z) 此时 ∴　，， 变式6：设x, y, zR，若，则之最小值为________，又此时________。 解析：∴最小值 　　　 　　　∴　　　∴ 变式7：设a，b，c均为正数且a ( b ( c ( 9，则之最小值为　　　　　 解： ()(a ( b ( c)(　()．9 ( (2 ( 3 ( 4)2 ( 81 (　( ( 9 变式8：设a, b, c均为正数，且，则之最小值为________ 解：: 　　　∴，最小值为18 变式9：设x，y，z ( R且，求x ( y ( z之最大、小值: 【解】∵　由柯西不等式知[42(（)2 ( 22] ( 　(　25 ( 1 ( (x ( y ( z ( 2)2　(　5 ( |x ( y ( z ( 2| (　( 5 ( x ( y ( z ( 2 ( 5　∴　( 3 ( x ( y ( z ( 7故x ( y ( z之最大值为7，最小值为 ( 3 类型二：利用柯西不等式证明不等式1）巧拆常数 （例1） （2）重新安排某些项的次序（例2） （3）改变结构 （例3） （4）添项（例4） 例1．设、、为正数且各不相等，求证： 　　　　　　又、、各不相等，故等号不能成立∴。例2．、为非负数，+=1，，求证： 　∴　　即例3．若，求证：解：，，∴，∴所证结论改为证　　　∴ 例4．，求证：　左端变形， ∴只需证此式即可。　　　　　【变式1】设a,b,c为正数，求证：． 　，即。　同理，．　将上面三个同向不等式相加得，　． 【变式2】设a,b,c为正数，求证：　　于是即 【变式3】已知正数满足 证明。解：　 又因为　　在此不等式两边同乘以2，再加上得：，故。类型三：柯西不等式在几何上的应用　　证明：由三角形中的正弦定理得，所以，　　　　　同理，于是左边=　。【变式】ΔABC之三边长为4，5，6，P为三角形内部一点，P到三边的距离分別为x，y，z，求的最小值。　　　　且　　4x+5y+6z=　　由柯西不等式(4x+5y+6z)2≥(x2+y2+z2)(42+52+62)　　≥(x2+y2+z2)×77x2+y2+z2≥。 柯西不等式 等号当且仅当或时成立（k为常数，） 利用柯西不等式可处理以下问题： 证明不等式 例2:已知正数满足 证明 证明： 又因为 在此不等式两边同乘以2，再加上得： 故 解三角形的相关问题 例3 设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明 证明： 记为的面积，则 求最值 例4已知实数满足， 试求的最值 解： 即 由条件可得， 解得，当且仅当 时等号成立， 代入时， 时 5）利用柯西不等式解方程 例5．在实数集内解方程 解： ① 又,. 即不等式①中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 ，它与联立，可得 高考 高中教育