专题2 立方和(差)公式、和(差)的立方公式(必讲)(张俊).docVIP

专题二 立方和（差）公式、和（差）的立方公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 ； （2）完全平方公式 。 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 ； （2）立方差公式 ； （3）三数和平方公式 ； （4）两数和立方公式 ； （5）两数差立方公式 。 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明。 反过来，就可以利用上述公式对多项式进行因式分解。 例1 计算： （1）； （2）； （3）。 分析：两项式与三项式相乘，先观察其是否满足立方和（差）公式，然后再计算. 解：（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=。 说明：第（1）、（2）两题直接利用公式计算.第（3）题不能直接利用公式计算，只好用多项式乘法法则计算，若将此题第一个因式中“+1”改成“-1”则利用公式计算；若将第二个因式中“”改成“”则利用公式计算；若将第二个因式 中“”改成“”，可先用完全平方公式分解因式，然后再用和的立方公式计算。 例2 计算： （1）； （2）； （3）； 分析：利用乘法的交换律、积的乘方，找出满足立方和（差）的两个因式，是计算的关键. 解：（1）原式； （2）解法一：原式； 解法二：原式 ； （3）原式 。 说明：第（2）、（3）题往往先用立方和（差）公式计算简捷.相反，如第（2）题的第二种解法就比较麻烦. 例3因式分解： （1）； （2）； （3）。 分析：对照立方和（差）公式，正确找出对应的是解题关键，然后再利用立方公式分解因式。 解：（1）原式； （2）原式 （3）原式 。 说明：我们可尝试一下，第(3)题先用立方差公式分解就比较复杂，会导致有的同学分解不彻底。 例４设,试求的值。 分析：对于立方和公式，我们不难把它变成： ，即，再应用两数和、两数积解题较为方便。 解：。 说明：立方和（差）与和（差）的立方之间可以相互转化。 如果的三边满足，试判断的 形状。 分析：直接看不出三角形边之间的关系，可把左边的多项式分解因式，变形后再找出三角形三边之间的关系。 解：因为， 所以， 即， ， 所以或， 因此是等腰三角形或直角三角形. 说明：此类题型，通常是把等式一边化为零，另一边利用因式分解进行恒等变形. 练习 1.计算： （1）； （2）； （3）； （4）。 2.计算： （1）； （2）； （3）； （4）。 3．分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）。 4．化简： 。 5．若，求证：。 6．（1）已知，求的值； （2）已知：，求的值. 7．已知两个正方体，其棱长之总和为48cm，体积之和为28cm3，求两个正方体的棱长. 8. 已知，求的值。 9. 已知，求的值。 10.已知实数满足，，求的值。 答案： 1．（1） ；（2）；（3）；（4）。 2．（1）； （2）； （3）；（4）。 3、（1）； （2）； （3）；（4）。 4．2 5．提示： 。 6．（1）-8（2）1 7．两个正方体的棱长分别为1cm和3cm. 8.1 9.5392 10. （兴化市第一中学 张俊）