(学生版)立体几何专题三：垂直证明题型及方法.docVIP

PAGE \* MERGEFORMAT PAGE \* MERGEFORMAT 3 立体几何专题三：垂直证明题型及方法 基础知识梳理 一个关系：线线垂直 线面垂直 面面垂直； 三类证法 (1)证明线线垂直的方法 ①定义：两条直线所成的角为90°； ②平面几何中证明线线垂直的方法； ③线面垂直的性质：a⊥α，b?α?a⊥b； ④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α?a⊥b. (2)证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直?a⊥α； ②判定定理1：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(m、n?α，m∩n＝A,l⊥m，l⊥n))?l⊥α； ③判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α； ④面面平行的性质：α∥β，a⊥α?a⊥β； ⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β. (3)证明面面垂直的方法 ①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； ②判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β. 类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直） 1.共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型） （1）等腰（等边）三角形中的中线 （2）菱形（正方形）的对角线互相垂直 （3）勾股定理中的三角形 利用相似或全等证明直角。 2.异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图） 例1.如图，在四棱锥中，底面是矩形，已知． 证明：； 变式1：如图，在边长为的正方形中，点是的中点，点是的中点，将△AED,△DCF分别沿折起，使两点重合于. 求证:； 变式2：如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 o证明：AB⊥PC 类型二：线面垂直证明 方法 eq \o\ac(○,1) 利用线面垂直的判断定理 例2.在正方体中，O为底面ABCD的中心，E为,求证： 变式1：如图：直三棱柱ABC－A1B1C1中， AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°.E为BB1的中点，D点在AB上且DE= EQ \R(3) . 求证：CD⊥平面A1ABB1； 变式2 如图，在底面为直角梯形的四棱锥中， ，，平面．，，， 求证：平面 eq \o\ac(○,2) 利用面面垂直的性质定理 方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。 例3.在四棱锥，底面ABCD是正方形，侧面PAB是等腰三角形，且,求证： 类型3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直) 例4.如图，已知平面，平面，△为等边三角形， ABCDEF，为 A B C D E F (1) 求证：平面； (2) 求证：平面平面； 变式1已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形，，E、F分别是棱CC′与BB′上的点，且EC=BC=2FB=2． 求证：平面AEF⊥平面AA′C′C； 小题训练 1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题： ① ② ③b∥M ④b⊥M. 其中正确的命题是 ( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 2.下列命题中正确的是 ( ) A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面 B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面 C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线 D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面 3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有 ( ) A.DP⊥平面PEF B.DM⊥平面PEF C.PM⊥平面DEF D.PF⊥平面DEF 第 第3题图 4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是 ( ) A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交 B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直 C.过a一定可以作一个平面与b垂直 D.过a一定可以作一个平面与b平行 5.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有 A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥β C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ 6.有三个命题： ①垂直于同一个平面的两条直线平行； ②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直； ③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直 其中正确命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 7.d是异面直线a、b的公垂线，平面α、β满足a⊥α，b⊥β，则下面