高中数学立体几何讲义(一)-高中课件精选.doc

高考 PAGE 高中教育 平面与空间直线 (Ⅰ)、平面的基本性质及其推论 1、空间图形是由点、线、面组成的。点、线、面的基本位置关系如下表所示： 图形 符号语言 文字语言（读法） 点在直线上。 点不在直线上。 点在平面内。 点不在平面内。 直线、交于点。 直线在平面内。 直线与平面无公共点。 直线与平面交于点。 平面、相交于直线。 （平面外的直线）表示或。 2、平面的基本性质 公理1： 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 推理模式：。 如图示： 应用：是判定直线是否在平面内的依据，也是检验平面的方法。 公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。 推理模式：且且唯一如图示： 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上。 αDCBAEFHG例1．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证： α D C B A E F H G 解：∵AB∥CD， ∴AB，CD确定一个平面β． 又∵ABα＝E，ABβ，∴E∈α，E∈β， 即E为平面α与β的一个公共点． 同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点． ∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E，F，G，H四点必定共线． 说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论． αDCBAl例2βM例2．如图，已知平面α，β，且αβ＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB α D C B A l 例2 β M 证明 ∵梯形ABCD中，AD∥BC， ∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰． ∴ AB，CD必定相交于一点， 设ABCD＝M． 又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β．∴M∈αβ． 又∵αβ＝l，∴M∈l， 即AB，CD，l共点． 说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的． 公理3： 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推理模式：不共线存在唯一的平面，使得。 应用：①确定平面；②证明两个平面重合 。 例3．已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面． 证明 1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A， 但A?d，如图1． αbadcGFEA α b a d c G F E A 图1 又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G， 则A，E，F，G∈α． ∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα． 同理可证bα，cα． ∴a，b，c，d在同一平面α内． abcd a b c d α H K 图2 ∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α． 设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α． 又 H，K∈c，∴cα． 同理可证dα． ∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内． 说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义． “有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证。 推论1： 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。 推理模式：存在唯一的平面，使得， 。 推论2： 经过两条相交直线有且只有一个平面。 推理模式：存在唯一的平面，使得。 推论3： 经过两条平行直线有且只有一个平面。 推理模式：存在唯一的平面，使得。 练习： 1．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1的中，A1C1B1D1＝O1，B1D 平面A1BC1＝P． 求证：P∈BO1． 证明 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中， A1ABB1DD1CC1O1P∵B1D平面A1BC1＝P，∴P A1 A B B1 D D1 C C1 O1 P ∵B1D平面BB1D1D．∴P∈平面A1BC1，且P∈平面BB1D1D． ∴P∈平面A1BC1平面BB1D1D， ∵A1C1B1D1＝O1，A1C1平面A1BC1，B1D1平面BB1D1D， ∴O1∈平面A1BC1，且O1∈平面BB1D1D． 又B∈平面