人教版必修五含参不等式和恒成立问题(含答案).docVIP

第 = PAGE 1*2-1 1页 共 = SECTIONPAGES 2*2 4页 ◎ 第 = PAGE 1*2 2页 共 = SECTIONPAGES 2*2 4页 第 = PAGE 1*2-1 1页 共 = SECTIONPAGES 2*2 4页 ◎ 第 = PAGE 1*2 2页 共 = SECTIONPAGES 2*2 4页 含参不等式专题 一元二次不等式含参问题 含参不等式的解法：由于解含参数不等式的主要目的是求未知数的取值集合，而不是求参数的范围，因此在分析含参数不等式时，把参数看成是常数，确定不等式的类型，按相应类型不等式的解题方法进行转化；但在求解过程中要审视参数对不等式类型、同解变形、解的结构等是否有不确定性影响，若有不确定性则进行分类讨论，否则不予讨论。 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： (1)按项的系数的符号分类，即; (2)按判别式的符号分类，即； (3)按方程的根的大小来分类，即； 例题1：解的不等式：（1）。 (2) 例题2：解关于的不等式：（1） （2） 例题3：解不等式（1）. （2） 一元二次不等式恒成立问题 不等式对任意实数恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0，它的解集为R的条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＞0,Δ＜0))；ax2＋bx＋c＜0的解集为R的条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＜0,Δ＜0))；的解集为R的条件为 ；的解集为R的条件为. 对于一般恒成立问题： 方法一：转化为函数的最值（或值域）（1）对任意x都成立；（2）对任意x都成立。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。 方法二：数形结合，如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围. 方法三：分离参数，把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题；（1）对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；（2）对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则 例题1：若的定义域为R,求b范围。 例题2：已知关于的不等式恒成立，试求的取值范围. 例题3：已知，求使不等式对任意恒成立的的取值范围。 【巩固训练】 解不等式 解关于的不等式 3、解关于x的不等式： 4、不等式 对恒成立，求的范围。 已知函数时恒成立，求实数的取值范围。 含参不等式专题答案 一元二次不等式含参问题 例题1：解：(1)当即，解集；当即Δ＝0，解集； 当或即,此时两根分别为，， 显然, ∴不等式的解集为 当，解集为R；当，解集为；当，解集 例题2：解：（1）当时，解集为{}；当时，解集为{}；当时，解集为{}；当时，解集为；当时，解集为{}. （2）当，解集是；当，解集是；当，解集是 ；当，解集是。 例题3：解：（1）当或时，原不等式的解集为； 当或时，可得其解集为；当或时, 解集为。 （2）；；； ；。 一元二次不等式恒成立问题 例题1：解：的定义域为R, 一元二次不等式的解集为R. 例题2：解：由题意知： ①当，即时，不等式化为，它恒成立，满足条件. ②当，即时，原题等价于 综上： 例题3：解法1：数形结合 结合函数的草图可知时恒成立 。所以的取值范围是。 解法2：转化为最值研究 ① 当上的最大值。 ②当，得，所以。 综上：的取值范围是。 注：1. 此处是对参数进行分类讨论，每一类中求得的的范围均合题意，故对每一类中所求得的的范围求并集。 2. 恒成立； 解法3：分离参数 。设， 当时，所以的取值范围是。 注：1. 运用此法最终仍归结为求函数的最值，但由于将参数a与变量x分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。 2. 本题若将“”改为“”可类似上述三种方法完成。 【巩固训练】 解：因式分解，得:，方程的两根为 ①当 即时，解集为：{︱ 或}; ②当即时，解集为：{︱ 且}; ③当即时，解集为：{︱ 或}. 综上， ①时，解集为：{︱ 或};②时，解集为：{︱ 且}; ③时，解集为：{︱ 或}. 解:∵ ∴ ∴①当时，； ②时，原不等式变为; ③时，; ④时，，或; ⑤时，或. 注意：该分类讨论就分类讨论! 解：原不等式可转化为对恒成立。 ①当时，即时，对一切，恒成立； ②当时 ，解得； 综上，的范围为。（你还有其他方法吗？） 解： 即， 不等式可转化为对恒成立，令