高二数学竞赛班二试平面几何讲义.第十讲 几何不等式doc3.docVIP

PAGE 1 高二数学竞赛班二试平面几何讲义 第十讲 几何不等式 班级 姓名 一、知识要点： 1．Ptolemy（托勒密）不等式 　若ABCD为四边形，则AB×CD+AD×BC≥ AC×BD。等号成立时A,B,C,D四点共圆 　　 2．Erdos－Mordell（埃尔多斯—莫德尔）不等式 设P是ΔABC内任意一点，P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r，记PA=x,PB=y,PC=z。则x+y+z≥2*(p+q+r) 　　 证明：因为P,E,A,F四点共圆，PA为直径，则有:EF=PA*sinA。 　　 在ΔPEF中，据余弦定理得: EF^2=q^2+r^2-2*q*r*cos(π-A)=q^2+r^2-2*q*r*cos(B+C) 　　=(q*sinC+r*sinB)^2+(q*cosC-r*cosB)^2≥(q*sinC+r*sinB)^2， 　　 所以PA*sinA≥q*sinC+r*sinB，即PA=x≥q*(sinC/sinA)+r*(sinB/sinA) (1)。 同理可得: PB=y≥r*(sinA/sinB)+p*(sinC/sinB) (2)， PC=z≥p*(sinB/sinC)+q*(sinA/sinC) (3)。 由(1)+(2)+(3)得: x+y+z≥p*(sinB/sinC+sinC/sinB)+q*(sinC/sinA+sinA/sinC)+r*(sinA/sinB+sinB/sinA)≥2*(p+q+r)。命题成立。 3．Weitzenberk（外森比克）不等式： 若为三角形三边长，是三角形面积, 则：。等号成立当且仅当为等边三角形。 　　 证明：只需证明， 只需证明，，成立。 4．Euler（欧拉）不等式 设ABC外接圆与内切圆的半径分别为R、r，则R≥2r，当且仅当ABC为正三角形时取等号。 　　 5．等周定理（等周不等式） 　　①周长一定的所有图形中，圆的面积最大；面积一定的所有图形中，圆的周长最小。 ②周长一定的所有n边形中，正n边形的面积最大；面积一定的所有n边形中，正n边形的周长最小。 6．Fermat（费马）问题 到三角形的三个顶点的距离之和最短的点叫做费尔马点。 对于一个顶角不超过的三角形，费尔马点是对各边的张角都是的点。 对于一个顶角超过的三角形，费尔马点就是最大的内角的顶点。 二、例题精析： 例1. 如图，设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I，∠B=60?,∠A∠C，∠A 的外角平分线交圆O于E． 证明：(1) IO=AE； (2) 2RIO+IA+IC(1+ eq \r(3))R． 例2. 水平直线m通过圆O的中心，直线l?m，l与m相交于M，点M在圆心的 右侧，直线l上不同的三点A,B,C在圆外，且位于直线m上方，A点离M点 最远，C点离M点最近，AP,BQ,CR为圆 O的三条切线，P,Q,R为切点． 试证：(1)l与圆O相切时，AB?CR+BC?AP=AC?BQ；(2)l与圆O相交时， AB?CR+BC?AP＜AC?BQ；(3)l与圆O相离时，AB?CR+BC?AP＞AC?BQ. 例3. 如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上， 求证： eq \f(S?PQR,S?ABC) eq \f(2,9)． 三、精选习题： 1．如图，在△ABC中，P为边BC上任意一点，PE∥BA，PF∥CA，若S△ABC=1， 证明：S△BPF、S△PCE、S□PEAF中至少有一个不小于 eq \f(4,9) (SXY…Z表示多边形XY…Z的 面积)． 2．设凸四边形ABCD的面积为1，求证：在它的边上(包括顶点)或内部可以找出 四个点，使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于 eq \f(1,4)． 3．在圆O内，弦CD平行于弦EF，且与直径AB交成45°角，若CD与EF分别 交直径AB于P和Q，且圆O的半径为1，求证：PC?QE+PD?QF2． 四、拓展提高： 4．设一凸四边形ABCD，它的内角中仅有?D是钝角，用一些直线段将该凸四边 形分割成n个钝角三角形，但除去A、B、C、D外，在该四边形的周界上， 不含分割出的钝角三角形顶点．试证n应满足的充分必要条件是n≥4． 5．已知边长为4的正三角形ABC．D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，且 |AE|=|BF|=|CD|=1，连结AD、BE、CF，交成△RQS．点P在△RQS内及边上 移动，点P到△ABC三边的距离分别记作x、y、z． (1)求证当点P在△RQS的