2007年第三届北方数学奥林匹克数学邀请赛试题.docVIP

2007第三届北方数学奥林匹克邀请赛试题及参考答案 （陕西 西安）第一天 2007年8月1日 9:00 —12:00 一、(本题25分) 在锐角中，、分别是、边上的高.以为直径作圆交于，在上取点使.证明：． 二、(本题25分) 设三边长分别为，且. 求的最小值. 三、(本题25分) 在数列中，， (). 求证：当时，有 (其中表示不超过的最大整数). 四、(本题25分) 平面上每个点被染为种颜色之一，同时满足： (1)每种颜色的点都有无穷多个，且不全在同一条直线上； (2)至少有一条直线上所有的点恰为2种颜色. 求的最小值，使得存在互不同色的4个点共圆. 第二天 2007年8月2日 8:30 —11:30 五、(本题25分) 设，求=的最大值. 六、(本题25分) 已知. (1)解方程； (2)求集合的子集个数. 七、(本题25分) 设是正整数, =[] (其中表示不超过的最大整数)，求同时满足下列条件的的最大值： (1) 不是完全平方数；(2) . 八、(本题25分) 设的内切圆半径为1，三边长,,.若、、都是整数，求证：为直角三角形. 参考答案 一、证法一：连结， 由为直径,得、、、四点共圆． ∴. 又． ∴∽ ∴, ∴．(射影定理的逆定理) 证法二：连结、，则由射影定理， 得 . ∴，∴， 又四点共圆，∴ ∴∴四点共圆， ∴，即. 二、解：= = 因为是三边长，且，所以 ， 于是 即 ∴ .等号当且仅当时取到， 故的最小值为. 三、证明：先考虑一般问题：设，求证：() 对于任何正整数，由递推公式知, 由于，所以有 当为正整数时，有 另一方面，由于，且 所以，时，， 时， （ 总之，， 故有， 所有. 取，即得本题． 四、解：由已知，若，在平面上取一定圆及上面三点、、，将弧(含不含)，弧(含不含)，弧(含不含)，分别染为1、2、3色，平面上其他点染为4色，则满足题意且不存在四个不同色的点共圆.所以. 当时，假设不存在四个互不同色的点共圆，由条件(2)知，存在直线上恰有两种颜色的点(设上仅有颜色1，2的点)，再由条件(1)知存在颜色分别为3，4，5的点、、不共线，设过、、的圆为⊙， 若⊙与有公共点，则存在四个互不同色的点共圆，矛盾； 若⊙与相离，过作的垂线交于， 设的颜色为1，垂线交⊙于点，，如图， 设的颜色为3，考虑上颜色为2的点，交⊙于， ∵，∴、、、四点共圆，由假设只能为3色， 又，必有一点不同于，设为，交于， ∵，∴，，，四点共圆， ∴，∴、、、四点共圆. 若为1色，则、、、互不同色且共圆； 若为2色，则、、、互不同色且共圆. 综上，假设不成立，∴当时，存在四个互不同色的点共圆. 所以的最小值是5. 五、解：+=+= ∴== 令，，则 再令，则， 所以≤===3-(+) ≤3-2=3-. 当且仅当，即==时，等号成立. 所以，=的最大值是3-. 六、(1)解：任取，则 -=- =-. ∵,∴. ∴-= ∵,∴-=0 ∴为上的减函数， 注意到，∴当时，，当时，， ∴有且仅有一个根. (2)由 ∴ ∴或，∴，的子集的个数是4. 七、解: 由(1)得 ＜＜+1 所以 ＜n＜+2+1即 +1≤n≤+2 令 n=+t t∈{1,2,…,2} 由(2)有 再由 记 则 由于 ∈N,所以 ∈N 由于t∈{1,2,…,2}, 所以 ≤2 即 ≤2 所以 =1或2, 由于n=+t, 且, ≤2, 所以 令 =2=8, 则 n=+t=16+8=24为最大. 经验证n=24满足(1),(2)两个条件,所以n的最大值24. 八、证明：设的内切圆在三边、、上的切点分别为，记，，，则 ∵ 都是整数， ∴ 同为偶数或同为奇数. 于是，均为整数或均为奇数的一半。下面证明后者是不可能的. ∵ ，∴ 又， ∴ 若均为奇数的一半，不妨设， 则 ∵为偶数， 为奇数，∴不可能是奇数的一半，矛盾。 故均为整数。 不妨设，则，于是，又，∴，即 ∴四边形为正方形，其中为的内心，即. 故为直角三角形.