二次函数中的分类讨论思想.docVIP

金太阳新课标资源网 HYPERLINK 金太阳新课标资源网 HYPERLINK 二次函数中的分类讨论思想 一、例题分析归类： （一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定 例1. （2008年陕西卷） 22．本小题满分14分） 设函数其中实数． （Ⅰ）若，求函数的单调区间； （Ⅱ）当函数与的图象只有一个公共点且存在最小值时，记的最小值为，求的值域； （Ⅲ）若与在区间内均为增函数，求的取值范围． 2. 轴定区间动 例2. （全国卷） 设a为实数，函数，求f(x)的最小值。 3. 轴动区间定 评注：已知，按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得在上的最大值或最小值。 例3．求函数在上的最大值。 4. 轴变区间变 例4. 已知，求的最小值。 （二）、逆向型 是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值。 例5. 已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值。 例6. 已知函数在区间上的值域是，求m，n的值。 练习： 1、（2008江西卷21）． 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）若函数的图像与直线恰有两个交点，求的取值范围． 2、已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。 3、（2008山东卷21．）（本小题满分12分） 设函数，已知和为的极值点． （Ⅰ）求和的值； （Ⅱ）讨论的单调性； （Ⅲ）设，试比较与的大小． 二次函数中的分类讨论思想 例题答案： 例1. 解：（Ⅰ） ，又， 当时，；当时，， 在和内是增函数，在内是减函数． （Ⅱ）由题意知 ， 即恰有一根（含重根）． ≤，即≤≤， 又， ． 当时，才存在最小值，． ， ． 的值域为． （Ⅲ）当时，在和内是增函数，在内是增函数． 由题意得，解得≥； 当时，在和内是增函数，在内是增函数． 由题意得，解得≤； 综上可知，实数的取值范围为． 例2.（1）当时， ①若，则; ②若，则 （2）当时， ①若，则;； ②若，则 综上所述，当时，；当时，；当时，。 例3．解析：函数图象的对称轴方程为，应分，，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为 （1）；由图可知 （2）；由图可知 （3） 时；由图可知 ；即 例4.解析：将代入u中，得 ①，即时， ②，即时， 所以 例5. 解析： （1）若，不合题意。 （2）若则 由，得 （3）若时，则 由，得 综上知或 例6.解析1：讨论对称轴中1与的位置关系。 ①若，则 解得 ②若，则，无解 ③若，则，无解 ④若，则，无解 综上， 解析2：由，知，则，f(x)在上递增。 所以 解得 评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m，n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。 练习答案： 1、解：（1）因为 令得 由时，在根的左右的符号如下表所示 极小值 极大值 极小值 所以的递增区间为 的递减区间为 （2）由（1）得到， 要使的图像与直线恰有两个交点，只要或， 即或. 2、分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分与两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简明。 解：（1）令，得 此时抛物线开口向下，对称轴为，且 故不合题意； （2）令，得，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故符合题意； （3）若，得，经检验，符合题意。 综上，或 评注：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法。 3、21．解：（Ⅰ）因为， 又和为的极值点，所以， 因此解方程组得，． （Ⅱ）因为，，所以， 令，解得，，． 因为当时，； 当时，． 所以在和上是单调递增的；在和上是单调递减的． （Ⅲ）由（Ⅰ）可知， 故，令，则． 令，得，因为时，， 所以在上单调递减．故时，； 因为时，，所以在上单调递增． 故时，． 所以对任意，恒有，又，因此， 故对任意，恒有．