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考研数学高数部分试卷与解答2003.doc
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《考研数学试卷》2003高数部分
填空题
[2003.一.1.4]
[2003.四.1.4]
[2003.二.1.4]若时,与是等价无穷小,则
[2003.三.1.4]设,其导数在处连续,则的取值范围是
[2003.二.2.4]设函数由方程所确定,则曲线在点处的切线方程是
[2003.三.2.4]已知曲线与轴相切,则可以通过表示为
[2003.四.2.4]
[2003.二.4.4]设曲线的极坐标方程为,则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的面积为
[2003.一.2.4]曲面与平面平行的切平面的方程为
[2003.三.3.4][2003.四.3.4]设,而表示全平面,则
[2003.二.3.4]的麦克劳林公式中项的系数是
[2003.一.3.4]设,则
单项选择题
[2003.一.2.4][2003.二.1.4]设均为非负数列,且,, 则必有(D)
A. 对任意成立 B. 对任意成立
C. 极限不存在 D. 极限不存在
[2003.四.1.4]曲线(D)
A.仅有水平渐近线 B. 仅有铅直渐近线
C.既有水平又有铅直渐近线 D. 既有铅直又有斜渐近线
[2003.三.1.4]设为不恒等于零的奇函数,且存在,则函数(D)
A.在处左极限不存在 B. 有跳跃间断点
C.在处右极限不存在 D. 有可去间断点
[2003.四.2.4]设函数,其中在连续,则是在处可导的(A)
A.充分必要条件 B. 必要但非充分条件
C.充分但非必要条件 D. 既非充分又非必要条件
[2003.一.1.4][2003.二.4.4]设函数在连续,其导数的图形如图(略),则有(C)
A 一个极小值点和两个极大值点 B 两个极小值点和一个极大值点
C 两个极小值点和两个极大值点 D 三个极小值点和一个极大值点
[2003.三.2.4][2003.四.3.4]设可微函数在取得极小值,则下列结论正确的是(A)
A.在处的导数等于零 B. 在处的导数大于零
C. 在处的导数小于零 D. 在处的导数不存在
[2003.二.2.4]设,则极限(B)
A. B. C. D.
[2003.二.5.4]设连续,则(B)
A. B. C. D.
[2003.二.3.4]已知是微分方程的解,则的表达式为(A)
A. B. C. D.
[2003.一.3.4]已知函数在点的某个邻内连续,且,则(A)
A. 点不是的极值点 B.点是的极大值点
C. 点是的极小值点
D. 根据所给条件无法判断点是否为的极值点
[2003.三.3.4]设,则下列命题正确的是(B)
A 若条件收敛,则与都收敛
B 若绝对收敛,则与都收敛
C 若条件收敛,则与的敛散性都不定
D 若绝对收敛,则与的敛散性都不定
解答题
[2003.三.3.8][2003.四.3.8]设。
试补充定义使得在上连续
解 令,有
由此,只要补充定义就可使得在上连续
[2003.二.3.10]设函数,问为何值时,在处连续;为何值时,是的可去间断点?
解
令,有,得或
当时,即在处连续;
当时,因而是的可去间断点。
[2003.二.4.10]设函数由参数方程所确定,求。
解 由得
所以
[2003.三.8.8]设函数在上连续,在内可导,且。试证必存在,使
证 因为在上连续,所以在上连续,且在必有最大值和最小值,于是
故,
由介值定理至少存在一点使
因为,且在上连续,在内可导,由罗尔定理可知,
至少存在一点,使
[2003.二.7.12] 讨论曲线与的交点个数。
解 问题等价为讨论方程有几个不同的实根。
设,则,不难看出驻点。
]当时,,即单调减少;]当时,,即单调增加;故为函数的最小值。
从而当,即时,无实根,即两条曲线无交点;
当,即时,有惟一的实根,即两条曲线只有一个交点;
当,即时,又由于,
,故有两个实根,即两条曲线有两个交点;
[2003.四.6.8]设在内的驻点为。问为何值时,最小?并求出最小值。
解 由,得惟一驻点。
考察在时的最小值。
令,得惟一驻点
当时;当时,
因此为极小值,也是最小值
[2003.二.5.9]计算不定积分
解
移项整理得 原式
解法二:常规先换元再做,试试!
[2003.二.10.10]设函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且。若极限存在
证明:(1)在内;(2)在内存在点,使;
(3)在内存在异于点的点,使
证 (1)因为极限存在,所以,由连续性。
又由内知,在上单调增,故在内;
(2)设,则,
满足柯西中值定理的条件,于是在内存在点,使
,即;
(3),在
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