线性代数教案 第二章 矩阵及其运算.doc

教 案 课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日 第 次 第2－ PAGE 2页 教 案 课程名称:线性代数 编写时间：20 年 月 日 第 次 第2－ PAGE 1页 授课章节 第二章 矩阵及其运算 §1 矩阵 §2 矩阵的运算 目的要求 理解矩阵的概念 重点难点 矩阵的乘法及伴随矩阵 复习……………………………………………………………………………………3分钟 §1 矩阵 定义1 由m×n个数aij（i = 1, 2, …, m ，j = 1, 2, …, n ），排成m行 n 列的数表： 称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵。为了表示它是一个整体，总是加一个括号将它界起来，并通常用大写字母表示它。记做 或， 也可简记。切记不允许使用。 矩阵的横向称行，纵向称列。矩阵中的每个数aij称为元素，所有元素都是实数的矩阵称为实矩阵，所有元素都是复数的矩阵称为复矩阵。本课中的矩阵除特殊说明外，都指实矩阵。 几种特殊得矩阵： （１）只有一行的矩阵称为行矩阵，又称行向量， （２）只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量。 （３）所有元素都是零的矩阵称为零矩阵，记做Ｏ。 （４）当ｍ＝ｎ时，矩阵称为方阵。即 ，这里的位置称为矩阵的主对角线。注意：不是方阵没有主对角线。在方阵中， 上三角矩阵：（主对角线以下均为零）； 下三角矩阵：（主对角线以上均为零）； 对角矩阵：（既是上三角又是下三角），记作 . 单位矩阵：对角元素为1的对角矩阵，记作Ｅ 或Ｅｎ（阶），即 。 当 时，即 ，此时矩阵退化为一个数 。 矩阵的引进为许多实际的问题研究提供方便。 例如 含有n个未知数，m个方程的线性方程组 把和按原顺序可以组成一个矩阵： 任何一个方程组都可以用这样一个矩阵来描述；反之，一个矩阵也完全刻划了一个方程组。 例1 已知某方程组对应于下列矩阵 。那么该方程组就是： 。 同型矩阵 具有相同行数和相同列数的矩阵，称之为同型矩阵。 矩阵相等 若同型矩阵和在对应位置上的元素都相等，即 则称矩阵A与B相等，记做 A = B 。 注意，不同型的矩阵是不能比较相等的。同型矩阵也不能比较大小。 …………………………………………………………………………………………42分钟 §2 矩阵的运算 一、矩阵的加法 定义2 设 和 是 的矩阵，A与B的加法（或称和），记作A + B ，定义为一个 的矩阵： 。 例2 设 , ，计算 。 负矩阵 设 ，称矩阵 为矩阵A的负矩阵。矩阵的减法： 二、数与矩阵相乘 定义3 （矩阵数乘） 数与矩阵的乘积（称之为数乘），记作 或，定义为一个 的矩阵 。 以上运算称为矩阵的线性运算，它满足下列运算法则： 交换律 结合律 数对矩阵的分配律 矩阵对数的分配律 结合律 例3 设 ，且 求矩阵X 。 解：由得。 三、矩阵与矩阵相乘 设有两个线性变换： ，其系数矩阵； ，其系数矩阵 从而可得从到的线性变换： ，其系数矩阵，记做C 则 。 显然，矩阵C是由矩阵A、B产生的，把这种运算称为矩阵与矩阵的乘积。 定义4 （矩阵乘法） 设是一个矩阵，是一个矩阵，A与B的乘法，记作AB，定义为一个 的矩阵 ，其中 . 由定义，不难看出（强调）： 只有在左矩阵A的列数和右矩阵B的行数相等时，才能定义乘法AB； 矩阵C=AB的行数是A的行数，列数则是B的列数； 矩阵C=AB在 位置上的元素等于A的第行元素与B的第列对应元素的乘积之和。 例4 设矩阵，，求AB和BA (BA无意义)。 例5 设矩阵 , 求 AB 和 BA 。 例6 设A是的矩阵（行向量），是的矩阵（列向量），即 ，， 求 AB 和 BA 。 上述几个例子显示，当AB有意义时，BA不一定有意义（例4）；即使AB和BA都有意义（例5、6），但不一定有相同的阶数（例6），即便有相同的阶数，也不一定相等（例5）。例5还说明，如果AB = O，不是一定有A = O 或B = O。 一般情况而言矩阵乘法不满足交换律。 特殊的，若两个矩阵A和B满足 ，则称矩阵A和B是可交换的。 例7 设是一般矩阵，和分别是m和n阶单位阵，则和。如果A是方阵时，有 AE = EA = A ，E相当于数1的作用。这就是称E为单位阵的原因。 矩阵乘法满足以下运算律： 结合律 。 数乘结合律 。 分配律； 。 矩阵的幂 设是阶矩阵，定义： , 其中，是正整数；特别规定 .