线性代数课后习题1答案(谭琼华版).doc

线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： (1) 解： (2) 解： (3) 解： (4) 解： (5) 解： (6) 解： 2.求下列排列的逆序数： （1）34215； 解：3在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；4的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2；1的前面有3个比它大的数，逆序数为3；5的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为5. （2）4312； 解：4在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面有1个比它大的数，逆序数为1；1的前面有2个比它大的数，逆序数为2；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2.因此排列的逆序数为5. （3）n(n-1)…21； 解：1的前面有n-1个比它大的数，逆序数为n-1；2的前面有n-2个比它大的数，逆序数为n-2；…；n-1的前面有1个比它大的数，逆序数为1；n的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为n(n-1)/2. (4）13…(2n-1)(2n) …42. 解：1的前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面没有比它大的数，逆序数为0；…；2n-1的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2n-2个比它大的数，逆序数为2n-2；4的前面有2n-4个比它大的数，逆序数为2n-4；…；2n的前面有2n-2n个比它大的数，逆序数为2n-2n.因此排列的逆序数为n(n-1). 3.写出四阶行列式中含有因子的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 ，其中为的逆序数．由于已固定，只能形如□□，即1324或1342.对应的分别为 或 和为所求. 4.计算下列各行列式： (1) ； 解：= =--= 0. (2) 解：= =--=-=-3. (3) ； 解： = (4) 解：= = =. (5) 解： =. (6) 解: = == (7) 解：＝＝ 解： = 5.证明下列等式: (1) =; 证明： (2) ; 证明： (3) . 证明： 假设对于阶行列式命题成立，即 , 所以，对于n阶行列式命题成立. 6.计算下列各题： (1) 设,,是方程的3个根，计算行列式,,是方程的3个根，即，那么，，==0. (2) 已知，用行列式的定义求，其中为的逆序数．注意到行列式中含x的有,,,，要使出现，那么中至少要出现一个，若，那么必须出现，从而也必须出现，这导致也必须出现，因此，不可能只出现，只有一种情况：，那么. (3) 设四阶行列式，求，其中为元素，所以==0. (4) 设n阶行列式，求== 7.计算下列各行列式（）： (1) ； 解：= = (2); 解： = (3) ，其中未写出的元素为0; 由此得递推公式： ， (4)； + =+ 由此得递推公式： = = (, i=1 ,2,…,n) 若中为零的个数为1，则 ，中为零的个数大于1，则 . (5) .提示：用范德蒙行列式计算 解： 8.用克莱姆法则解下列方程组： 解：， 解：， ， 9.,取何值时，以下齐次方程组有非零解？ 解 ， 齐次线性方程组有非零解，则 即 得 .