高中数学正弦函数的图象与性质.ppt

观察下列正弦型函数,是由正弦曲线怎样得到的?先平移再缩小或扩大横坐标,或先伸缩横坐标再平移都可以. 在函数 的图象上， 横坐标为 的点的纵坐标， 的点的纵坐标相等。 同正弦曲线上横坐标为 因此， 函数 的图象， 可以看作把正弦曲线上所有点的 横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变而得到的。 类似地， 的图象， 函数 可以看作把正弦曲线上所有 倍，纵坐标不变而得到的。 横坐标伸长到原来的 点的 小结： 当ω＞1时， 纵坐标不变 当０＜ω＜1时， 横坐标伸长到原来的 倍 横坐标缩短到原来的 倍 纵坐标不变 练习： 1．为了得到函数 的图象，只需把正弦曲线上的所有的 点的（　　） A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变． B．横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变． C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变． D．纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变． A 点的（　　） 2．为了得到函数 的图象，只需把正弦曲线上的所有的 A．横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变． B．横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变． C．纵坐标伸长到原来的4倍,横坐标不变． D．纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变． D 3．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图．并总结由正弦曲线怎 样得到. ⑴ ⑵ ⑷ ⑶ 解： ⑴ ⑵ ⑷ ⑶ * 正弦函数的图象 与性质 主讲者:王老师 1.正弦函数的精确定义 2.正弦函数的图像 3.正弦函数的性质 4.正弦函数图像的左右上下平移及其推广 5.正弦型函数与正弦函数的坐标变换 回顾前面学过的三角函数定义, 称为正弦函数,如果取 ,将会得到正弦函数的精确定义。如图所示的坐标系,这是一个单位圆,我们把规定了方向的线段叫做有向线段，有向线段MP的数量记为MP. y x x O -1 ? P M A(1,0) 如果MP的方向和y轴方向一致，MP为正， 如果MP的方向和y轴方向相反，MP为负。 那么有向线段MP的数量与sin?有什么关系？ MP的符号和点P的纵坐标的符号相同，即 sin?=y=MP. 我们知道幂函数 、指数函数 、对数函数 ，他们都是精确定义。 用x代替α，正弦符号后面的角x采用弧度制，这就和函数值实数十进制是一致的。通过角终边的旋转可知，自变量的取值范围是全体实数，再从正弦线的大小可知，函数值的取值范围是[-1，1]。 2.正弦函数的图象 x 6? y o -? -1 2? 3? 4? 5? -2? -3? -4? 1 ? y=sinx x?[0,2?] y=sinx x?R 正弦曲线 y x o 1 -1 ( 2? ,0) ( ,-1) ( ? ,0) ( ,1) 正弦函数的图象 1)图象作法--- 五点法 2)正弦曲线 x 6? y o -? -1 2? 3? 4? 5? -2? -3? -4? 1 ? (0,0) 3.正弦函数的性质 观察图像，y=sin x的定义域：R y=sin x 的值域为[-1,1]。 那么正弦函数还有哪些性质呢？ 观察正弦曲线，每隔2?个单位长度，其图像有什么变化？ 从三角函数诱导公式也可得出，对于任意一个角x，都有 特别的，当k=1时，有 若记, , 则对任意 周期性的定义 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得 当x取定义域内的每一个值时，都有 f(x+T)=f(x) 那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. 由此可知，正弦函数y=sin x 是周期函数，且 以及 都是正弦函数周期。 思考 ：一个周期函数的周期有多少个？ 一般地，如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.如无特殊说明，我们指的周期就是最小正周期。 正弦函数的性质 结论：正弦函数是奇函数。 奇偶性 一般地, 如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x, 都有 f(- x )= f( x )，那么就说f( x )是偶函数 如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x, 都有 f(- x )= -f( x )，那么就说f( x )是奇函数 （1）观察正弦函数图象是否关于原点对称？ （2）正弦函数在长度为 的区间内 具有怎样的单调性？ ( 2? ,0) ( ,-1) ( ? ,0) ( ,1) (0,0) x 6? y o -? -1 2? 3?