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树人学校2017-2018第二学期高三模拟考试（四） 数学Ⅰ 第Ⅰ卷（共70分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则 ． 2.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于第 象限． 3.设，则“”是“”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”） 4.为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间的一等品，在区间和的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ． 5.运行如图所示的算法流程图，输出的的值为 ． 6.在平面直角坐标系中，若抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ． 7.书架上有5本书，其中语文书2本，数学书3本，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为 ． 8.已知等差数列的前项和为，且，则 ． 9.记棱长为1的正三棱锥的体积为，棱长都为1的正三棱柱的体积为，则 ． 10.若将函数（）的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，则 ． 11.在中，是底边上的高，点是三角形的重心，若，，，则 ． 12.已知函数（，为正实数）只有一个零点，则的最小值为 ． 13.已知等边的边长为2，点在线段上，若满足的点恰有两个，则实数的取值范围是 ． 14.已知函数的最小值为，则实数的取值集合为 ． 第Ⅱ卷（共90分） 二、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． （1）求； （2）求的值． 16.如图，在三棱锥中，平面平面，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若，求证：平面． 17.某市为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，已知，是东西方向主干道边两个景点，且它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为，线段段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，其中道路起点到东西方向主干道的距离为，线段段上的任意一点到的距离都相等．以为原点、线段所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求道路的曲线方程； （2）现要在道路上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置（即确定点的坐标）？ 18.在平面直角坐标系中，椭圆：（）的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）已知为椭圆的上顶点，点为轴正半轴上一点，过点作的垂线与椭圆交于另一点，若，求点的坐标． 19.已知函数，（其中为参数）． （1）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求函数的单调区间； （3）求函数的极值．　 20.已知无穷数列的各项都不为零，其前项和为，且满足（），数列满足，其中为正整数． （1）求； （2）若不等式对任意的都成立，求首项的取值范围； （3）若首项是正整数，则数列中的任意一项是否总可以表示为数列中的其他两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由．　 树人学校2017-2018第二学期高三模拟考试（四）数学Ⅰ答案 一、填空题 1. 2.三 3.充分不必要 4.100 5.9 6.6 7. 8. 9. 10. 11.6 12. 13. 14. 二、解答题 15.解：（1）在中，因为，，， 所以， 因为是的边，所以． （2）在中，因为，所以， 所以， 在中，，即，所以， 又，所以，所以， 所以． 16.证明：（1）在平面中，，分别为，的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）在平面中，，，所以， 在平面中，，为中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，平面，平面， 所以平面． 17.解：（1）线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，所以线路段所在曲线是以定点，为左、右焦点的双曲线的右上支， 则其方程为（，）， 因为线路段上的任意一点到的距离都相等，所以线路段所在曲线是以为圆心、以长为半径的圆，由线路段所在曲线方程可求得， 则其方程为， 故线路示意图所在曲线的方程为： 段：， 段：． （2）当点在段上，设，又，则， 由（1）得，即， 则，即当时，， 当点在段上，设，又，则， 由（1）得，即， 即当时，， 因为， 所以的坐标为，可使到景点的距离最近． 18.解：（1）因为椭圆的短轴长为，离心率为，所以 又，解得