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几何定理证明.doc
几何定理证明
HYPERLINK /search?word=%E9%87%8D%E5%BF%83%E5%AE%9A%E7%90%86fr=qb_search_expie=utf8 \t _blank 重心定理:三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。
先证明交于一点,如图一中线AD、BE交于G,延长CG交AB于F,即证明F为AB中点即可,延长GD至H使GD=DH,又BD=DC∴BDCG为平行四边形,∴BE∥CH,CF∥BH,又E为AC中点, EG为中位线,∴G为AH中点,又CF∥BH,∴ FG为中位线,即F为AB中点,∴三条中线交于一点。
再证明2倍问题
证明1:如图:△ABC的中线AD、BE交于G(重心),求证:AG=2GD
取CE的中点F,连接DF,
则 CE=2EF=AE ,
∴DF是△BCE的中位线,
∴GE∥DF ,
AG/GD=AE/EF=2,
∴AG=2GD 。
证明2:面积法(三条中线将三角形分成6个面积相等的三角形)
△ABC,AB、BC、CA中点分别为D、E、F,交于一点G。
∵D、E、F为中点
∴S△CAD=S△CDB=S△ABE=S△ACE=S△ABF=S△BCF
=S△ABC/2
∴S△ADG=S△CEG=S△BEG
同理S△BDG=S△BEG
∴S△ABG=2S△BEG
∴AG/GE=2即AG=2GE
证明3:相似三角形
△ABC,AB、BC、CA中点分别为D、E、F,交于一点G。
∴DF//BC,DF=BC/2 ①(中位线定理)。
∴△ADF∽△ABC, E为BC中点,∴H为DF中点(可证AH/AE=DH/BE=HF/EC, BE=EC, ∴DH=HF)
∴HF=DF/2 , BE=BC/2, 又可由①知HF=BE/2
∴HF//BE.
又∵∠BGE=∠FGH。
∴△BGE∽△FGH
∴BG/GF=BE/HF=2。∴BG=(2/3)BF
2、 HYPERLINK /search?word=%E9%87%8D%E5%BF%83%E5%AE%9A%E7%90%86fr=qb_search_expie=utf8 \t _blank 外心定理:三角形的三条中垂线一定交于一点,称之为三角形的外心,之所以称之为三角形的外心,是因为它是三角形外接圆的圆心。
已知:如图8-21所示, PD、NE、MF是△ABC的3条边上的中垂线。
求证:PD、NE、MF交于一点O。
思路:先作两条边AB、AC上的中垂线MF、NE相交于O点,过O作OD⊥BC于D,其反向延长线与AB交于P。然后再证明D是BC的中点。
证明:作AB、BC边上的中垂线MF、NE相交于O点,过O作OD⊥BC于D,其反向延长线与AB交于P。
∵ MF⊥AB于F,AF=FB;
∴ OA=OB;
∵ NE⊥AC于E,AE=EC;
∴ OA=OC;
∴ OB=OC;
∵ OD⊥BC于D;
∴ POD是BC边上的中垂线。
∴ NE、MF、PD交于一点O;即,三角形的三条中垂线交于一点。
结论:该证法采用直接证法,简单明了,其中运用了中垂线的性质定理和判定定理。
3、垂心定理:三角形的三条高(所在直线)交于一点,该点叫做三角形的垂心。
证明1:已知:ΔABC中,AD、BE是两条高,AD、BE交于点H,连接CH并延长交AB于点F ,求证:CF⊥AB
证明:连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度
∴A、B、D、E HYPERLINK /z/Search.e?sp=S%E5%9B%9B%E7%82%B9%E5%85%B1%E5%9C%86ch=w.search.yjjlinkcid=w.search.yjjlink \t _blank 四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE
∵∠EAH=∠DAC ∠AEH=∠ADC
∴ΔAEH∽ΔADC ∴AE/AH=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔHAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 因此,垂心定理成立
证明2:(利用外心定理来证明),如图过A、B、C分别做BC、AC、AB的平行线相交于A、B、C,
∵AD⊥BC,BC//BC
∴DA⊥BC
∵BC//BC,A C//AC
∴四边形BCA C与四边形BCA B为平行四边形
∴AC=A B 即A为BC中点,又DA⊥BC
∴DA为BC中垂线
同理可证EB、CF为A C、A B中垂线
∴AD、BE、CF交于一点(外心定理)
4、 HYPERLINK /search?word=%E5%86%85%E5%BF%83%E5%AE%9A%E7%90%86fr=qb_search_expie=utf8 \t _blank 内心定理:三角形的三内 HYPE
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