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全等三角形培优提升.doc
—— PAGE 10——
全等三角形题型解析
知识点
全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等.
全等三角形的判定方法:
(1) 边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
(2) 角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
(3) 边边边定理(SSS):三边对应相等的两个三角形全等.
(4) 角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
(5) 斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
(一)取值范围问题
思路点拨:一般利用在同一个三角形中三边关系来讨论,一般在有中点的条件时,考虑延长中线来构造全等三角形。
例1 在中,AC=5,中线AD=4,则边AB的取值范围是( )
A B C D
B
说明:一般在有中点的条件时,考虑延长中线来构造全等三角形。
变式 如下图,在中,AB=5,AC=3,则边AD的取值范围是( )
变式2已知:AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD
A
A
D
B
C
例2如下图,在△ABC中,AD为BC边上的中线.求证:AD EQ EQ \F(1,2) (AB+AC)
分析: 关于线段不等的问题,一般利用在同一个三角形中三边关系来讨论,由于AB、AC、AD不在同一个三角形,应设法将这三条线段转化在同一个三角形中,也就是将线段相等地转化,而转化的通常方法利用三角形全等来完成,注意AD是BC边上的中线,延长AD至E,使DE=AD,即可得到△ACD≌△EBD.
证明:延长AD到E,使DE=AD,连结BE
在?ACD与?EBD中
∴ ?ACD≌?EBD(SAS)
∴ AC=EB(全等三角形对应边相等)
在?ABE中,AB+EB>AE(三角形两边之和大于第三边)
∴ AB+AC>2AD(等量代换)
说明:一般在有中点的条件时,考虑延长中线来构造全等三角形。
(二)角平分线问题
说明:在有角平分线条件时,常以角平分线为轴翻折构造全等三角形,这是常用辅助线。
例1 如下图,在四边形ABCD中,对角线AC平分,,下列结论中正确的是( )
A B
C D AB-AD与CB-CD 的大小关系不确定
A
变式 如图,在△ABC中,ABAC ,1= 2,P为AD上任意一点.求证:AB-ACPB-PC.
(二)证明线段和的问题
1 截长法
在较长线段上截取一线段等一较短线段,证明其余部分等于另一较短线段。
例1已知:AC平分∠BAD,CE⊥AB,
∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE
变式 1
年北京中考题)已知中,,、分别平分和,、交于点,试判断、、的数量关系,并加以证明.
,
理由是:在上截取,连结,
利用证得≌,∴,
∵,∴,∴,
∴,∴,∴,
∵,∴,∴,
利用证得≌,∴,∴.
2补短法
延长一较短线段,使延长部分等于另一较短线段,则两较短线段成为一条线段,证明该线段等于较长线段。
例1已知:如图,ABCD是正方形,∠FAD=∠FAE. 求证:BE+DF=AE.
延长CB至M,使得BM=DF,连接AM.
∵AB=AD,AD⊥CD,AB⊥BM,BM=DF
∴△ABM≌△ADF
∴∠AFD=∠AMB,∠DAF=∠BAM
∵AB∥CD
∴∠AFD=∠BAF=∠EAF+∠BAE=∠BAE+∠BAM=∠EAM
∴∠AMB=∠EAM
∴AE=EM=BE+BM=BE+DF.
变式1 已知:如下图所示,正方形ABCD中,F在DC上,E在BC上,。
求证:EF=BE+DF
分析:此题若仿照例1,将会遇到困难,不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G,使BG=DF。
证明:延长CB至G,使BG=DF
在正方形ABCD中,
又
即∠GAE=∠FAE
变式2 如下图,已知AB=CD=AE=BC+DE=2,,求五边形ABCDE的面积
4
(三)证明较复杂三角形全等
例1 如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,D是斜边上AB上任一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F,CH⊥AB于H点,交AE于G.
求证:BD=CG.
.分析:由于BD与CG分别在两个三角形中,欲证BD与CG相等,设法证△CGE≌△BDF。由于全等条件不充分,可先证△AEC≌△CFB
证明:在Rt△AEC与Rt△CFB中,
∵AC=CB,AE⊥CD于E,BF
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