四边形中的旋转、折叠问题.docVIP

四边形中的旋转、折叠问题 例题：如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C＝． （1）求B′ 点的坐标； （2）求折痕CE所在直线的解析式． 例题：（1）如图①，ABCD的对角线AC、BD交于点O。直线EF过点O，分别交AD、BC于点E、F 求证：AE=CF。 （2）如图②，将ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处。设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD、DE于点H、I。 求证：EI=FG。 例题：（2012?德州）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH． （1）求证：∠APB=∠BPH； （2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论； （3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． （2012?南宁）如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O． （1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形； （2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点； （3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长． 解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF， ∵DC∥AB， ∴∠EFG=∠AGF， ∴∠EFG=∠EGF， ∴EF=EG=AG， ∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG）， 又∵AG=GE， ∴四边形AGEF是菱形． （2）连接ON， ∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，△AED的外接圆与BC相切于点N， ∴ON⊥BC， ∵点O是AE的中点， ∴ON是梯形ABCE的中位线， ∴点N是线段BC的中点． （3）作OM⊥AD， 设DE=x，则MO=x， 在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°， 故AE为△AED的外接圆的直径． 延长MO交BC于点N，则ON∥CD， ∵四边形MNCD是矩形， ∴MN=CD=4， ∴ON=MN﹣MO=4﹣x， ∵△AED的外接圆与BC相切， ∴ON是△AED的外接圆的半径， ∴OE=ON=4﹣x，AE=8﹣x， 在Rt△AED中，AD2+DE2=AE2， ∴22+x2=（8﹣x）2， 得x=DE=，OE=4﹣x=， ∵△FEO∽△AED， ∴=， 解得：FO=， ∴FG=2FO=． 故折痕FG的长是． 对应练习 1.（2012?泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（　　） 2.（2012?泰安）如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为（　　） 3.（2012?泰安）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（　　） 第17题 第17题 4.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点， 将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD 于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为_______． 5.矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（　　）(试题82页） 6.（2010山东潍坊）如图，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使B点与D点重合，则∠BCE的正切值是________．(89页) 7.梯形中的对角线（88页） 8..如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半．这样的图形有【 】 (A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个 9如图所示，把一长方形纸片沿MN折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AMD′＝36°，则∠NMD′等于 （A）144° （B）126° （C）108° （D）72°A A B C D D′ C′ N M F (第10题) ABCDE(F)BA(F)D A B C D E (F) B A (F) D