§1.4随机行走和生长问题.PDF

第一章 Monte Carlo方法基础 §1.4随机行走与生长问题 §1.4 随机行走与生长问题 1.4.1 随机行走 将随机性引入到物理实在的模型中的想法可以追溯到古希腊时代，Epicurean （伊壁鸠鲁）就认为原子的无规运动源于单独的原子没有什么理由就可以偏离直 线而游荡，这种观点理所当然地受到其他持有决定论或因果性观念的学者的反 对。按现代的观点，我们对物理世界随机性的认识是这样的：在建立物理实在的 模型时，可以暂时只考虑一个小的物理子系统，但这个子系统的边界可以受系统 外部的力、场和碰撞的影响。为了避免在描述中包含大的物理系统和多自由度， 我们用一个适当选择的“偶然”力、场和碰撞等物理量来代替外部自由度对子系 统施加的影响，这就是物理中引入随机性思想的基础。 谈到随机（stochastic ）人们经常想到统计（statistical ），但这是两个不同的 概念。古罗马的地区行政长官称为 stisticus，他的职责就是日常的无序状态中析 取规律性，如麦子的产量等，这类的工作正是统计学家所做的事情，即从一大堆 杂乱的数据中提取关键参数，如平均值、标准偏差等。然而，随机意味无规或任 意，在随机方法中我们是利用无规性来做事情，如试验系统的所有可能状态，这 和统计学做的是相反的两样事情。 1.4.1.1 Brown 运动 1827年植物学家 Brown 观察到水中的花粉等颗粒可以不停的作无规则运动， 1905年 Einstein 发表了 Brown 运动的统计理论，推导了运动位置方差与运动时间 的关系，并且将扩散系数用粒子半径、温度、粘滞性等物理量表示。这些启发了 Perrin 在1916年进行了实验观测研究（他于1926年由于对物质的非连续结构研究 和Avogadro 常数的计算获得了Nobel 物理奖）。当时他是用显微镜直接观察胶粒， 并每隔30秒记录一次位置（图1.4.1.1-1 ），图中的直线段是用于将这些位置相连接 的，并不表示在30秒中它们是按直线段行走的。 由于Brown 颗粒的质量远较液 体的分子大，我们将颗粒看成是一 个巨分子，它不停地受到周围环境 中液体分子的碰撞，这种碰撞的频 19 率为每秒10 次量级，因此我们观察 到的 Brown 颗粒的运动是大量碰撞 的涨落的结果，它是一种完全无规 则的随机运动（图1.4.1.1-2 ）。在描 述 Brown 运动时，我们将影响系统 在相空间中轨迹的随机力应用于决 定性运动方程，也就是把液体分子 的自由度凝缩为仅用随机力代表。 图1.4.1.1-1 Perrin 记录的Brown 运动轨迹。 1－23 第一章 Monte Carlo方法基础 §1.4随机行走与生长问题 设颗粒所受的阻力为 −αv ，所受的涨落力为F ， 则颗粒在水平面内x 方向上的运动方程为 mx F =−αx ， (1.4.1.1-1) x 这是 1907 年由 Langevin 提出的 Brown 运动方 程。由 d 2 1 d 2 2 2 xx xx −x x =−x ， (1.4.1.1-2) ( )