利用导数证明不等式50题(学生版).docVIP

试卷第 =page 1 1页，总 =sectionpages 3 3页 试卷第 =page 1 1页，总 =sectionpages 3 3页 利用导数证明不等式 1．（本小题满分12分）已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围（为自然常数）； (3)求证（，）． 2．（本小题满分10分）（1）设，试比较与的大小； （2）是否存在常数，使得对任意大于的自然数都成立？若存在，试求出的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 3．（本小题满分14分） 已知函数（其中，e是自然对数的底数，e＝2.71828…）． (Ⅰ)当时，求函数的极值； (Ⅱ)若恒成立，求实数a的取值范围； (Ⅲ)求证：对任意正整数n，都有． 4．（本小题满分14分）已知函数，， 其中，是自然对数的底数．函数，． （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）将的全部零点按照从小到大的顺序排成数列，求证： （1），其中； （2）． 5．（本小题满分12分）已知函数. （1）若函数满足,且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围； （2）若函数在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围； （3）当时，试比较与的大小. 6．已知． （1）求函数的单调区间； （2）若关于的方程有实数解,求实数的取值范围； （3）当,时,求证： ． 7．已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围； （3）证明:对任意的正整数,不等式…都成立. 8．已知函数（） （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在处取得极值，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，证明不等式 . 9．已知函数. （1）证明：； （2）证明：. 10．已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)． (1)若a＝－1，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2(f′(x)是f(x)的导数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围； (3)求证：×…×(n≥2，n∈N*)． 11．已知函数 (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； (2)求证函数在上为单调增函数； (3)设，，且，求证：． 12．设函数的定义域是,其中常数. (1)若,求的过原点的切线方程. (2)当时,求最大实数,使不等式对恒成立. (3)证明当时,对任何,有. 13．函数. （1）令，求的解析式； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：. 14．已知． （1）若存在单调递减区间，求实数的取值范围； （2）若,求证：当时，恒成立； （3）利用（2）的结论证明：若，则. 15．设函数f(x)＝ln x＋x2－(a＋1)x(a0，a为常数)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)若a＝1，证明：当x1时，f(x) x2－－. 16．已知为实常数，函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个不同的零点； （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）求证：且.（注：为自然对数的底数） 17．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且对任意x＞0，都有f ′(x)＞． （Ⅰ）判断函数F(x)＝在(0，＋∞)上的单调性； （Ⅱ）设x1，x2∈(0，＋∞)，证明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)； （Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论． 18．已知函数，其中是自然对数的底数. （Ⅰ）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）若函数对任意满足，求证：当时，； （Ⅲ）若，且，求证： 19．已知函数 （1）当时，试讨论函数的单调性； （2）证明：对任意的 ，有. 20．已知函数(是常数)在处的切线方程为，且. （Ⅰ）求常数的值； （Ⅱ）若函数()在区间内不是单调函数，求实数的取值范围； （Ⅲ）证明:. 21．已知函数（且）. （1）当时，求证:在上单调递增； （2）当且时,求证:. 22．已知函数， ，（）． （1）求函数的极值； （2）已知，函数， ，判断并证明的单调性； （3）设，试比较与，并加以证明． 23．已知，， （1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求最大的正整数，使得对（是自然对数的底数）内的任意个实数都有成立； （3）求证：． 24．已知函数的最小值为0，其中。 （1）求a的值 （2）若对任意的，有成立，求实数k的最小值 （3）证明 25．已知函数， （1）求函数的单调递增区间； （2）若不等式在区间（0,+上恒成立，求的取值范围； （3）求证： 26．（本题满分14分） 已知函数()，. （Ⅰ）当时，解关于的不等式：； （Ⅱ