Holder不等式的几种不同形式及其证明和应用【大学毕业论文】【精选】.doc

大学课件 PAGE 大学教育 大学课件 大学教育 H?lder不等式的几种不同形式及其 证明和应用 Several H?lder inequalities and their proofs and applications 专 业: 数学与应用数学 作 者: 曾运梅 指导老师: 张映辉 湖南理工学院数学学院 二○一一年五月 岳阳 大学课件 大学教育 摘 要 在初步掌握了H?lder不等式的基础上，我们进一步对H?lder不等式的几种不同的形式给出了证明. 通过证明, 进一步掌握好H?lder不等式, 并为其在各个领域的应用打下好的基础. 关键词: H?lder不等式; Young 不等式; H?lder不等式的几种形式; 证明方法; 推广及应用 Abstract After mastering several inequalities, we further give their proofs. By this, we further master the H?lder inequality and its applications. Keywords: H?lder inequality; Young inequality; several H?lder inequalities; the method of proof; extension and application 大学教育 目 录 TOC \o 1-3 \u 摘 要 I ABSTRACT II 0 引言 1 1预备知识 1 2 H?lder不等式的几种不同形式及其证法 5 2.1 H?lder不等式的离散形式及其证法 5 2.2 H?lder不等式的积分形式及其证法 7 2.3 H?lder不等式的概率形式及其证法 9 3 H?lder不等式的推广及应用 10 3.1 H?lder不等式的推广．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10 3.2 H?lder不等式的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11 参考文献 14 PAGE 大学教育 0 引言 H?lder不等式在数学分析、调和分析、泛函分析、偏微分方程等学科的研究中发挥 了重要作用, 使用的技巧灵活多样, 得到的结果极为深刻. 然而在数学知识体系中H?lder不等式的证明出现较晚, 限制了它的早期传播和使用. 于是, 首先我们给出了几条常用的定理以及某些定理的证明, 根据这些重要定理与初等数学之间的联系以得到H?lder不等式的几种不同形式的证明; 其次, H?lder不等式又经常以另外两种形式出现. 一种是离散量的形式, 另一种是连续量的形式. 本文中通过借助三个引理, 在给定条件下, 先后证明了离散形式的H?lder不等式及积分形式的H?lder不等式; 再次, 由于随机不等式是不等式领域的重要组成部分, 这种类型的不等式在许多方面都有着重要的应用, 特别是在概率论与数理统计领域中的作用突出. 因此, 我也给出了H?lder不等式的概率形式的证明. H?lder不等式的不同形式的证明及其推广, 可使此不等式就能在初等数学阶段中给予介绍, 有利于传播和使用, 并能揭示相关结果的本质, 再充分发掘利用此结果, 能使许多问题得到新的简单而又直接的解决, 体现数学的威力, 训练使用这些知识的技巧和能力, 能为以后的发展奠定基础. 总之, 著名的H?lder不等式在分析学中起着非常重要的作用, 它的证法与推广能解决很多实际问题. 在已有结论的基础上对H?lder不等式进行证明, 推广及应用做了一些初探, 探求多种简洁的证明方法、推广形式, 通过对其不同形式的证明, 探索出了一些不等式证明的途径和相关技巧, 并通过对其在不同程度的推广, 加强了对H?lder不等式的应用. 1 预备知识 为了方便证明, 本文先给出一些必要的引理． 1.1（引理1） 设不全相等且， 则即 1.2(引理2) 1.3(引理3) 设 那么对于 有（时，等号成立）. 证明:考察函数 我们发现 又由于 当时， 函数在上是减函数. 所以， 因此，当时不等式成立. 当时， 函数在上是增函数. 所以， 因此对一切不等式成立. 由此引理得证. 1.4 (引理4)（基础关系式） 设 则 (1) 证明：若中有一个0, 则（1）式显然成立. 设均不为零, 将（1）式两边同时处以, 得 令则上式变为 （2） 所以, 我们只需证明（2）式成立就可以了. 令，则