《因式分解》全章复习与巩固(提高)知识讲解.docVIP

PAGE 第 PAGE 2页 共 NUMPAGES 7页 《因式分解》全章复习与巩固（提高） 撰稿：康红梅 责编：李爱国 【学习目标】 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算； 2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法； 3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 要点二、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 要点三、公式法 1.平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 2.完全平方公式 两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 要点四、十字相乘法和分组分解法 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 要点五、因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】 类型一、提公因式法分解因式 1、 分解因式： (1)； (2)． 【答案与解析】 解：(1)． (2) ． 【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否． ２、利用分解因式证明：能被120整除． 【思路点拨】25＝，进而把整理成底数为5的幂的形式，然后提取公因式并整理为含有120的因数即可． 【答案与解析】 证明：＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ∴能被120整除． 【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式． 类型二、公式法分解因式 3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：，小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的． 【思路点拨】把分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答． 【答案与解析】 解：把看作完全平方式里的； 原式＝ ＝ ＝． 【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把看作完全平方式里的是解题的关键． 举一反三： 【变式】下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式＝（第一步）＝（第二步）＝（第三步）＝（第四步）回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）． A、提取公因式 B．平方差公式C、两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底________．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________. （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案与解析】 解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式； （2）还可以分解，分解不彻底；结果为. （3）设． ＝， ＝， ＝2， ＝， ＝． 4、计算：(1－)(1－)(1－)…(1－)(1－) 【思路点拨】先把括号里的式子通分，再把分子分解因式，利用乘法约分即可剩下. 【答案与解析】 解：(1－)(1－)(1－)…(1－)(1－) ＝ ＝＝． 【总结升华】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，解题的关键是正确运算和分解． 举一反三： 【变式