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八年级(上)培优专题九:因式分解的常用方法.doc
专题九 因式分解的常用方法
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样,现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下:
一、提公因式法.
如多项式
其中m叫做这个多项式各项的公因式, m既可以是一个单项式,也可以是一个多项式.
二、运用公式法.
运用公式法,即用
三、分组分解法.
(一)分组后能直接提公因式
例1、分解因式:
分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。
解:原式=
= 每组之间还有公因式!
=
思考:此题还可以怎样分组?
此类型分组的关键:分组后,每组内可以提公因式,且各组分解后,组与组之间又有公因式可以提。
例2、分解因式:
解法一:第一、二项为一组; 解法二:第一、四项为一组;
第三、四项为一组。 第二、三项为一组。
解:原式= 原式=
= =
= =
练习:分解因式1、 2、
(二)分组后能直接运用公式
例3、分解因式:
分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。
解:原式=
=
=
例4、分解因式:
解:原式=
=
=
注意这两个例题的区别!
练习:分解因式3、 4、
综合练习:(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
(9) (10)
(11)(12)
四、十字相乘法.
(一)二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——进行分解。
特点:(1)二次项系数是1;
(2)常数项是两个数的乘积;
(3)一次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式:
分析:将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6),从中可以发现只有2×3的分解适合,即2+3=5。 1 2
解:= 1 3
= 1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式:
解:原式= 1 -1
= 1 -6
(-1)+(-6)= -7
练习5、分解因式(1) (2) (3)
练习6、分解因式(1) (2) (3)
(二)二次项系数不为1的二次三项式——
条件:(1)
(2)
(3)
分解结果:=
例7、分解因式:
分析: 1 -2
3 -5
(-6)+(-5)= -11
解:=
练习7、分解因式:(1) (2)
(3) (4)
(三)二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式:
分析:将看成常数,把原多项式看成关于的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。
1 8b
1 -16b
8b+(-16b)= -8b
解:=
=
练习8、分解因式(1)(2)(3)
(四)二次项系数不为1的齐次多项式
例9、 例10、
1 -2y 把看作一个整体 1 -1
2 -3y
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