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双曲线专题复习(附答案).doc
双曲线专题
考点1 双曲线的定义及标准方程
题型1:运用双曲线的定义
1.设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|:|PF2|=3:2,则△PF1F2的面积为 ( )
A. B.12 C. D.24
解析: ①
又②
由①、②解得
直角三角形,
故选B。
2. P是双曲线左支上的一点,F1、F2分别是左、右焦点,且焦距为2c,则的内切圆的圆心的横坐标为( )
(A) (B) (C) (D)
[解析]设的内切圆的圆心的横坐标为,
由圆的切线性质知,
题型2 求双曲线的标准方程
3.已知双曲线C与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2).求双曲线C的方程.
[解析] 解法一:设双曲线方程为-=1.由题意易求c=2.
又双曲线过点(3,2),∴-=1.
又∵a2+b2=(2)2,∴a2=12,b2=8.
故所求双曲线的方程为-=1.
解法二:设双曲线方程为-=1,
将点(3,2)代入得k=4,所以双曲线方程为-=1.
4.已知双曲线的渐近线方程是,焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线的方程为 ;
[解析]设双曲线方程为,
当时,化为,,
当时,化为,,
综上,双曲线方程为或
5.以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为___________________.
[解析] 抛物线的焦点为,设双曲线方程为,,双曲线方程为
6.已知点,,,动圆与直线切于点,过、与圆相切的两直线相交于点,则点的轨迹方程为
A. B. C.(x 0) D.
[解析],点的轨迹是以、为焦点,实轴长为2的双曲线的右支,选B
考点2 双曲线的几何性质
题型1 求离心率或离心率的范围
7.已知双曲线的左,右焦点分别为,点P在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率e的最大值为 .
[解析](方法1)由定义知,又已知,解得,,在中,由余弦定理,得,要求的最大值,即求的最小值,当时,解得.即的最大值为.
(方法2) ,
双曲线上存在一点P使,等价于
(方法3)设,由焦半径公式得,∵,∴,∴,∵,∴,∴的最大值为.
8. 已知双曲线的右顶点为E,双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A、B两点,若∠AEB=60°,则该双曲线的离心率e是( )
A. B.2 C.或2 D.不存在
[解析]设双曲线的左准线与x轴交于点D,则,,,
题型2 与渐近线有关的问题
9.若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长,则双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.
[解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长,故,,所以
10.焦点为(0,6),且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 ( )
A. B. C. D.
基础巩固训练
1..已知双曲线的两个焦点为、,是此双曲线上的一点,且满足,,则该双曲线的方程是 ( )
A. B. C. D.
[解析]由 和得,选A
2..已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是( )
(A). (B). (C). (D).
[解析] ,选B
3.曲线与曲线的 ( )
A.焦距相等 B.焦点相同 C.离心率相等 D.以上都不对
[解析] 方程的曲线为焦点在x轴的椭圆,方程的曲线为焦点在y轴的双曲线,,故选A
综合提高训练
4. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点,(1)求双曲线的渐近线方程(2)直线过焦点且垂直于x轴,若直线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为,求双曲线的方程
[解析](1)依题意,有,即,即双曲线方程为,故双曲线的渐近线方程是,即,.
(2)设渐近线与直线交于A、B,则,,解得即,又,
双曲线的方程为
5..已知中心在原点的双曲线C的右焦点为,右顶点为.
(Ⅰ)求双曲线C的方程
(Ⅱ)若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且(其中为原点),求k的取值范围
解(1)设双曲线方程为
由已知得,再由,得
故双曲线的方程为.
(2)将代入得
由直线与双曲线交与不同的两点得
即且. ① 设,则
,由得,
而
.
于是,即解此不等式得 ②
由①+②得
故的取值范围为
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