初中数学：圆与直角坐标系综合题.docVIP

如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC1），连结BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E． （1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论． （2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化，若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由． （3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC=m，AF=n，用含n的代数式表示m． 解析（1）两个三角形全等 ∵△AOB、△CBD都是等边三角形 ∴OBA=∠CBD=60° ∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC 即∠OBC=∠ABD ∵OB=AB，BC=BD △OBC≌△ABD （2）点E位置不变 ∵△OBC≌△ABD ∴∠BAD=∠BOC=60° ∠OAE=180°-60°-60°=60° 在Rt△EOA中，EO=OA·tan60°= 或∠AEO=30°，得AE=2，∴OE= ∴点E的坐标为（0，） （3）∵AC=m，AF=n，由相交弦定理知1·m=n·AG，即AG= 又∵OC是直径，∴OE是圆的切线，OE2=EG·EF 在Rt△EOA中，AE==2 （）2=（2-）（2+n） 即2n2+n-2m-mn=0 解得m=． 3、如图，直角坐标系中，已知两点，点在第一象限且为正三角形，的外接圆交轴的正半轴于点，过点的圆的切线交轴于点． （1）求两点的坐标；（2）求直线的函数解析式； （第5题）（3）设分别是线段上的两个动点，且平分四边形的周长．试探究：的最大面积？ （第5题） 解：（1），．作于，为正三角形， ，．．连，，， ．． （第6题）（2），是圆的直径，又是圆的切线，． （第6题） ，．． 设直线的函数解析式为， 则，解得．直线的函数解析式为． （3），，，，四边形的周长． 设，的面积为，则，． ．当时，． 点分别在线段上，，解得． 满足，的最大面积为． 4、如图（6），在平面直角坐标系中，的边在轴上，且， 以为直径的圆过点．若点的坐标为，，A、B两点的 横坐标，是关于的方程的两根． （1）求、的值； （2）若平分线所在的直线交轴于点，试求直线对应的一次函数解析式； yx图（6）NBACODMl（3）过点任作一直线分别交射线、（点 y x 图（6） N B A C O D M l 解：（1）以为直径的圆过点，，而点的坐标为，由易知，， yx图（3）NBACODM y x 图（3） N B A C O D M E F (0，2) l 即．由根与系数关系有：， 解之，． （2）如图（3），过点作，交于点， 易知，且， 在中，易得， ， ， 又，有，， ，则，即，易求得直线对应的一次函数解析式为：． 解法二：过作于，于，由，求得 又求得．即，易求直线解析式为：． （3）过点作于，于．为的平分线，． 由，有 由， 有， 即． 5、如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点，直线FA⊥x轴于点A， 点D在FA上，且DO平行⊙O的弦MB，连DM并延长交x轴于点C. （1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并给出证明； （2）设点D的坐标为（-2，4），试求MC的长及直线DC的解析式. 解：（1）答：直线DC与⊙O相切于点M . 证明如下：连OM， ∵DO∥MB， ∴∠1=∠2，∠3=∠4 . ∵OB=OM，∴∠1=∠3 . ∴∠2=∠4 . 在△DAO与△DMO中， ∴△DAO≌△DMO . ∴∠OMD=∠OAD . 由于FA⊥x轴于点A，∴∠OAD=90°. ∴∠OMD=90°. 即OM⊥DC . ∴DC切⊙O于M. （2）解：由D（－2，4）知OA=2（即⊙O的半径），AD=4 . 由（1）知DM=AD=4，由△OMC∽△DAC，知 eq \f(MC,AC) = eq \f(OM,AD) = eq \f(2,4) = eq \f(1,2) . ∴AC=2MC. 在Rt△ACD中，CD=MC＋4. 由勾股定理，有(2MC)2＋42=(MC＋4)2，解得MC= eq \f(8,3) 或MC=0（不合，舍去）. ∴MC的长为 eq \f(8,3) . ∴点C（ eq \f(10,3) ，0）. 设直线DC的解析式为y = kx＋b . 则有 解得