清华大学运筹学课件(完整课件)-精选版.ppt

第一章 线性规划与单纯形法 §1 线性规划问题及其数学模型 1.1 问题的提出 [eg.1] 生产计划问题 问：产品Ⅰ、Ⅱ各生产多少件， 使利润最大？ [eg.2]污水处理问题 环保要求河水含污低于2‰，河水可自身净化20%。 问：化工厂1、2每天各处理多少污水，使总费用最少？ 线性规划的数学模型： max (min)z = c1x1 + c2x2 + ··· + cnxn a11x1 + a12x2 + ··· + a1nxn ≤(=, ≥) b1 a21x1 + a22x2 + ··· + a2nxn ≤(=, ≥) b2 ┆ ┆ am1x1 + am2x2 + ··· + amnxn ≤(=, ≥) bm x1，x2，···，xn ≥ 0 说明： 1.2 图解法 [eg.3]用图解法求eg.1。 max z = 2x1 + 3x2 1x1 + 2x2 ≤ 8 ① 4x1 ≤ 16 ② 4x2 ≤ 12 ③ x1，x2 ≥ 0 首先取z = 0，然后，使z逐 渐增大，直至找到最优解所对 应的点。 讨论： (1)唯一最优解 max z = z*时，解唯一，如上例。 (3)无界解 [eg.5] max z = 2x1 + 3x2 4x1 ≤ 16 x1，x2 ≥ 0 则x2 → ∞，z → ∞。 即存在无界解。 在实际问题中，可能 是缺少约束条件。 (4)无可行解 [eg.6] max z = 2x1 + 3x2 2x1 + 4x2 ≥ 8 x1 + x2 ≤ 1 x1，x2 ≥ 0 无公共部分，无可行域。 即无可行解。 在实际问题中，可能是关系错。 1.3 线性规划的标准型 1、标准型 max z = c1x1 + c2x2 + ··· + cnxn a11x1 + a12x2 + ··· + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ··· + a2nxn = b2 ┆ ┆ am1x1 + am2x2 + ··· + amnxn = bm x1，x2，···，xn ≥ 0 用向量表示 用矩阵描述为： max z = CX AX = b X ≥ 0 其中: X = (x1,x2,···,xn)T C = (c1,c2,···,cn) b = (b1,b2,···,bm)T 2、标准型的化法 (1)min→max ∵ min z = cx = -max(-z) ∴ max(-z) = -min z = -cx 令z’ = -z 则max z’ = -cx [eg.7]将下述问题化为标准型 min z = -x1+2x2-3x3 x1+ x2+ x3 ≤ 7 ① x1- x2+ x3 ≥ 2 ② -3x1+ x2+2x3 = 5 ③ x1,x2 ≥ 0，x3无约束 1.4 线性规划解的概念 设线性规划为 max z = CX ① AX = b ② X ≥ 0 ③ A为m × n矩阵, n m, Rank A = m (A为行满秩矩阵） 4、基解：取B = (p1,p2,···,pm) a11,···,a1m x1 a1m+1,···,a1n xm+1 b1 ┆ ┆ ┆ + ┆ ┆ ┆ = ┆ am1,···,amm xm amm+1,···,amn xn bm ↑ ↑ ↑ ↑ 基 基变量 非基 非基变量 令 xm+1 = ··· = xn = 0 (非基变量为0) 则 BXB = b ∴ 5、基可行解