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初中数学．锐角三角函数 锐角三角函数 例题精讲 模块一　三角函数基础 锐角三角函数的定义 如图所示，在中，a、b、c分别为、、的对边． （1）正弦：中，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即． （2）余弦：中，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即． （3）正切：中，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即． 注意： ① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② 、、分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为与、与、与的乘积． ③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值． 特殊角三角函数 三角函数 这些特殊角的三角函数值一定要牢牢记住！ 三、锐角三角函数的取值范围 在中，，，又，，，所以 四、三角函数关系 1．同角三角函数关系： ， 2．互余角三角函数关系： (1) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：； (2) 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：； (3) 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：． 3．锐角三角函数值的变化规律： (1)A、B是锐角，若AB，则；若AB，则 (2) A、B是锐角，若AB，则；若AB，则 (3) A、B是锐角，若AB，则；若AB，则 已知在中，是锐角，且，则 ． 【巩固】如图，点在半径为的上，以为圆心，为半径作，设的弦与相切，求证为定值． 求的值 【巩固】化简： 已知，求（1），（2）（）． 【巩固】已知，求． 已知为锐角，且，求的度数． 【巩固】若为锐角，且，求的度数． 已知（为锐角），求作以和为两根的一元二次方程． 【巩固】若方程的一个根是，则它的另一个根必是或． 【巩固】已知：中，方程的两根相等，求证． 【巩固】在中，，最大边与最小边的边长分别是方程的两个根，求 的外接圆半径和内切圆的面积． 模块二 解直角三角形 一、解直角三角形的概念 根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形． 二、直角三角形的边角关系 如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳： （1）三边之间的关系： (勾股定理) （2）锐角之间的关系： （3）边角之间的关系： 解直角三角形的四种基本类型 （1）已知斜边和一直角边(如斜边，直角边)，由求出，则， ； （2）已知斜边和一锐角(如斜边，锐角)，求出，，； （3）已知一直角边和一锐角(如和锐角)，求出，，； （4）已知两直角边(如和)，求出，由，得． 具体解题时要善于选用公式及其变式，如可写成，等． 四、解直角三角形的方法 解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切； 当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 五、解直角三角形的技巧及注意点 在中，，故，．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题． 六、如何解直角三角形的非基本类型的题型 对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解； （1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析； （2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等． 七、直角三角形中其他重要概念 （1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴． （2）坡角与坡度：坡面的垂直高度和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵． （3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶． 八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题： （1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义； （2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）； （3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；