《罗斯贝波的传播与演变》课件.ppt

Chp 13 Rossby波的传播与演变 §13.3 Rossby波的频散，上游效应 §13.3.1 Rossby波群速度特征 向外传播。对频散波， 。当 时，扰动能量将先于扰动源到达下游，从而在下游 引起新的扰动，或使下游已有的扰动加强。这种上游扰动对下游产生 的快于扰源本身传播的影响，称为上游效应。 大气中产生某种扰动后，由上节知，能量要以 * 在自然科学的许多领域内，因为控制方程的非线性，变系数，边界条件的复杂性等原因，很多问题都难以求得精确的解析解 。为了寻求方程解的一些信息，只得求助一些大家熟知的近似解法（级数解法，小扰动方法）和数值解法；或者两者合用。 近似方法中最主要的是摄动方法，针对非正则摄动问题，又发展出了多尺度方法，它们在频散波的能量传播和Rossby波共振相互作用等方面已有广泛应用，取得了不少成果。 §13.1 摄动方法与多尺度方法 、摄动方法（WKB方法） 奇异摄动理论实为一庞杂体系，这里只是简化其思路和步骤，再由实例加以运用： 对方程和定解条件进行无量纲化； 选取一个合适的摄动量，它是一个无量纲的小（或大 ）参数 ； ③将方程的解按此小参数展开成幂级数 ④将级数代入到无量纲方程，可得到关于小参数的各级近似方程，进而 可确定幂级数的各个系数 ； ⑤若是正规（则）摄动问题，对级数进行截断，便得到原方程的渐进解 对于合理的小参数，若在整个区域中满足：渐进展开式的相邻两项中，后项量级小于前项量级，即渐进解在区域上是一致有效的，则这一摄动问题称为正规摄动问题。反之，渐进解在区域上非一致有效的问题，称为奇异摄动问题。 二、下面用实例具体说明如何用摄动方法对基本方程组进行简化： 引入位势 ，正压原始方程组（浅水方程组）可以写为： ——（11.18） ①首先，要对（11.18）作无量纲化处理，用*量表示无量纲量。对于中纬度大尺度运动，时间尺度取平流时间尺度（ ），扰动位势取地转尺度 （ ），取 平面近似（ 故可取： ）。 ——（11.19） 将（11.19）代入（11.18）进行无量纲化，例如对第一式： ，可改写为： 两端除以 ，得到： 类似的，可对（11.19）其余两式进行无量纲化，总之，有如下的无量纲方程组：（11.20） 其中 具有长度的量纲，称为Rossby变形半径，在中纬度 取值约3400km。 ② 罗斯贝数是大尺度运动中最重要的无量纲参数。由以上分析知道 ，是一个小参数，故这里就取其为摄动量。 ③ 将方程组（11.20）的解 按小参数展开为幂级数： 倘若这些级数中的各系数 则解就明确了！下一步就是做此事： ——(11.21) 可以求出， ④ 将（11.21）代入（11.20），例如代入第一式中，有： 既有： 将 相同幂次的项合并在一起（这里从略），若取零级近似（ 的项），则有： 零次幂 →这就是（11.22）的第一式 若取一级近似（取 的一次方项而略去高次幂项），则有： →这就是（11.24）的第二式 这样，就达到了简化方程组的目的。总之，有零级近似： ——（11.22） 其物理意义是很明显的：中纬度大尺度运动最基本的特征，是运动满足地转风关系和水平无辐散关系：（11.22）中有： 将（11.22）写到有量纲形式的方程组，为： ——（11.24） 注意：上述零级近似方程组中不含 项，故不能描述流场随时间的演 变过程，而一级近似却能解决这一问题，前面推了一级近似第一个方 程，其余类推（具体推导中要利用上页 的性质）：故 有一级近似： ——（11.24）′ 但（11.24） ′中含有下标为“1”的量，但是这可以消去。作运算 可得： ， 再将（11.22）的第三式代入，有无量纲涡度方程： ——（11.25） 显然，由[1]与[2]得到的上述（11.25）与[3]构成了二联闭合方程组，写为有量纲式，为： ——（11.26） 称为正压准地转方程组，其特点是涡度方程和连续方程中除散度外，取了地 转近似。其中 ，是地转流函数。 得正压准地转位势涡度守恒关系： ——（11.27） 三、多尺度方法简介 （1）基本概念 用WKB法简化方程组很有用，但是不能适应于任何情况，例如当渐近解在区间内出现非一致有效（渐近级数发散）时就不行了，称奇异摄动。如 （13f.11）阻尼系数为 的线性阻尼谐振方程 现取 为小参数： ，则按摄动法，可设解为： -----（13f.12） 下面将代入（13f.11），然后按 的各次幂项整理合并。 分别令 的各次幂项系数为0，则分别得出各级近似如下： ： ——（13f.13）下标为0表示零级近似 ： —（1