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天空之城文艺中心 四年级奥数 PAGE \* MERGEFORMAT 1 巧妙求和 巧妙求和 一、知识要点 若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 二、精讲精练 【例题1】 有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？ 【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。 练习1： 等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？ 有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？ 已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？ 【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。 练习2： 一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？ 求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。 求等差数列2.6，10，14……的第100项。 【例题3】有这样一个数列：1,2,3,4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 【思路导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。 1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和： 等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 这个公式也叫做等差数列求和公式。 练习3： 计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60 【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。 【思路导航】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。 练习4： 计算下面各题。 （1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 （3）9+18+27+36+…+261+270 【例题5】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99） 【思路导航】容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。 练习5： 用简便方法计算下面各题。 （1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994） （2）（2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999） （3）（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998）