19.9（三）勾股定理(勾股定理的逆定理及其证明).docVIP

19.9（3）勾股定理（勾股定理的逆定理及其证明） 要点归纳 勾股定理逆定理是从边的角度出发来判定一个三角形是直角三角形的一种方法，在题目中若有或者能求出三角形的三边，往往利用勾股定理逆定理来判断此三角形是否为直角三角形。 疑难分析 例1 如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 例2 如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求∠APB的度数。 基础训练 1.在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，AC=3，则∠A=＿＿＿＿，AB=＿＿＿＿，=＿＿＿＿； 2.已知两条线段的长分别是5厘米和12厘米，当第三条线段的长为＿＿＿＿厘米时，这三条线段能组成一个直角三角形； 3.在△ABC中，点D为BC的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=＿＿＿＿； 4.现有两根木棒，它们的长度分别是40厘米和50厘米，若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，所需另外最短的木棒长度是＿＿＿＿； 5.等腰三角形的周长是20厘米，底边长是6厘米，则底边上的高是＿＿＿＿； 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN= ＿＿＿＿； 7. 在△ABC中，AB=2k，AC=2k-1，BC=3，当k=＿＿＿＿时，∠C=90°。 8.下列命题中，假命题是（ ） A. 在△ABC中，若∠B=∠C-∠A，则△ABC是直角三角形 B. 在△ABC中，若a2=（b+c）（b-c），则△ABC是直角三角形 C. 在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形 D. 在△ABC中，若a：b：c=5：4：3，则△ABC是直角三角形 9.若△ABC的三边a、b、c满足（a-b）（a2+b2-c2）=0，则△ABC是（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 10.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 11.观察下列几组数据：①3、4、5； ②4、5、6； ③6、8、10； ④7、24、25.其中能作为直角三角形三边长的有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 12. 如图△ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断△ABC的形状。 13.阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判定△ABC的形状。 解 ∵ a2c2-b2c2=a4-b4 ① ∴ c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2） ② ∴ c2=a2+b2 ③ ∴ △ABC为直角三角形。 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出改步的代号＿＿＿＿； （2）错误的原因是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （3）本题正确的结论是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 14.如图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c。 图（2）是c以为直角边的等腰直角三角形。请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。 （1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形； （2）用这个图形证明勾股定理； （3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）。 15.已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上的一点，且CF=CD。 求证：△AEF是直角三角形。 拓展训练 16.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，设AC=b，CB=a，AB=c，CD=h。 求证：（1）c+h﹥a+b； （2）以a+b、c+h、h为三边可构成一个直角三角形。