1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(复合函数导数).pptVIP

例1：说出下列函数分别由哪几个函数复合而成． 解：函数的复合关系分别是： (1)y＝um，u＝a＋bxn； 例2：　　求y＝ln(2x＋3)的导数． [分析]　复合函数求导三步曲： 第一步：分层(从外向内分解成基本函数用到中间变量)． 第二步：层层求导(将分解所得的基本函数进行求导)． 第三步：作积还原(将各层基本函数的导数相乘，并将中间 变量还原)． 例3：已知函数f(x)是偶函数，f(x)可导，求证： f′(x)为奇函数． 　证法一：由于f(x)是偶函数，故f(－x)＝f(x)． 对f(－x)＝f(x)两边取x的导数，则f′(－x)·(－x)′＝f′(x)，即f′(－x)＝－f′(x)．因此f′(x)为奇函数． 1.函数y＝(3x－4)2的导数是 (　　) A．4(3x－2)　　　　　　B．6x C．6x(3x－4) D．6(3x－4) 解析：∵y′＝[(3x－4)2]′＝2(3x－4)·3＝6(3x－4)． 答案：D 2．函数y＝2sin3x的导数是 (　　) A．2cos3x B．－2cos3x C．6sin3x D．6cos3x 解析：∵y′＝(2sin3x)′＝2cos3x·(3x)′＝6cos3x. 答案：D * 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二） 1.基本初等函数的导数公式： 2.导数的运算法则 1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′; 2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)+ f(x) g(x) ′; 思考 如何求函数y=㏑（3x+2）的导数呢？ 我们无法用现有的方法求函数y=㏑（x+2）的导数.下面，我们先分析这个函数的结构特点. 若设u=3x+2，则y=ln u.即y=㏑（3x+2）可以看成是由y=ln u和u=3x+2经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数. 如果把y与u的关系记作y＝f(u)， u与x的关系记作u＝g(x)，复合过程可表示为y ＝f(u) ＝f[g(x)] ＝ ln(3x＋2) ． 如函数y＝(2x＋3)2，是由y＝u2和u＝2x＋3复合而成的． 复合函数 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u, y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记做y=f(g(x)). 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 复合函数的导数 问题解答 由此可得，y=㏑(3x+2)对x的导数等于y= ㏑u对u的导数与u=3x+2对x的导数的乘积，即 点拨：找复合关系一般是从外向里分析，每层的主体为基本初等函数，最里层应为关于x的基本函数 －f′(x)．所以f′(x)为奇函数. 类似的结论是：若奇函数f(x)是可导函数， 则f′(x)是偶函数． 随堂练习 答案：D *