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数学专题——三角形中的常用辅助线 一、方法概述 几何的难点就在辅助线。辅助线如何添？把握定理和概念，还要刻苦加钻研，找出 规律凭经验。 （一）找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个 可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 （二）三角形中常见辅助线的作法： （1）延长中线构造全等三角形； （2）利用翻折，构造全等三角形； （3）引平行线构造全等三角形； （4）作连线构造等腰三角形。 二、典型例题 （一）遇到等腰三角形 ，可作底边上的高 ，利用“三线合一 ”的性质解题，思维 模式是全等变换中的 “对折”。 例 1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点D， CE 垂直于 BD，交 BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。 1、思路分析： （1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用 （2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有 BD平分∠ABC 的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来 1 2、解题后的思考： 等腰三角形“三线合一 ”性质的逆命题在添加辅助线中的应用，不但可以提高解 题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，开拓了一个广阔的探索 空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。 （二）若遇到三角形的中线 ，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全 等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 例 2：如图，已知ΔABC 中，AD是∠BAC 的平分线，AD 又是 BC边上的中线。求证： ΔABC是等腰三角形。 1、思路分析： （1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。 （2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中 位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了 AD 又是 BC 边上的中线这 一条件，而且要求证 AB=AC，可倍长AD 得全等三角形。 2、解题后的思考： 题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可得到 全等三角形。 （三）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思 维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆 定理。 例 3：已知，如图，AC平分∠BAD，CD=CB，ABAD。求证：∠B+∠ADC=180°。 1、思路分析 2 （1）题意分析：本题考查角平分线定理的应用。 （2）解题思路：因为 AC 是∠BAD 的平分线，所以可过点C 作∠BAD 的两边的垂线， 构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。 2、解题后的思考： ①关于角平行线的问题，常用两种辅助线； ②见中点即联想到中位线。 （四）过图形上某一点作特定的平行线 ，构造全等三角形，利用的思维模式是全 等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 例 4：如图，ΔABC 中，AB=AC，E 是 AB 上一点，F 是 AC 延长线上一点，连 EF 交 BC 于D，若 EB=CF。