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2016江苏高考填空压轴题的解法赏析.pdf
一条高考压轴题的解法赏析
笔者近来查阅江苏2016 年高考数学题时,发现其14题与课本必修4 例4 结论有渊源,
P
116
依托深刻的三角理论根基,显示出知识发展的源与流,对考生的思维爬坡,运算准确提出新挑战.
【题源】在斜三角形ABC 中,求证:tanAtanB tanC tanA tanB tanC
【考题】(2016年江苏数学 14)在锐角三角形 ABC 中,若sinA 2sinB sinC ,则
tanAtanB tanC的最小值是 .
【分析】本题考查了三角公式及不等式的最值.思路开阔,多解频生.对考生的运算能力、符
号处理能力、把握数学本质的能力、良好的思维品质及应试策略等数学素养是有较高的要求。
【解法一】在锐角三角形ABC 中,由sinA 2sinB sinC
及 ,
sinA sin B C sinBcosC cosBsinC
得2tanB tanC tanB tanC,
又tanAtanB tanC tanA tanB tanC ,
tanB tanC 2tanB tanC
则tanA ,
tanB tanC1 tanB tanC1
2
2 x 1 2
今x tanB tanC1 0则tanAtanB tanC 2x 4 8,
x x
(仅当 即 时等号成立).
x 1 tanB tanC 2
所以tanAtanB tanC 的最小值是8.
【点评】本题是三角的常见题型,需要学生有一定的转化能力,将正弦化正切,有一定难度.
【解法二】在锐角三角形ABC 中A,B,C均为锐角,所以 ,
cosA 0,cos B C 0
sinA 2sinB sinC 2sinBsinC
则由sinA 2sinB sinC可得 ,
cosA cos B C sinB sinCcosB cosC
2tanB tanC
所以tanA ,即tanAtanB tanC tanA 2tanB tanC,
tanB tanC1
因为tanA 2tanB tanC 2 tanA 2tanB tanC ,
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