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教 案 首 页 北京市工贸技师学院 专业：高计、高钳 科目：高等数学 授课人： 授课日期 授课班级 计划课时 实用课时 审批签字 2 2 课 题 §1-1复合函数与初等函数 教学目的 理解复合函数的定义和初等函数的定义，掌握复合函数 和初等函数的求解方法，并会求定义域。 主要教学 内容 一、复合函数 二、初等函数 重 点 复合函数、初等函数的定义、定义域 难 点 复合函数的求解方法 教学方法 讲授法、启发式、典型例题讲解 教 具 三角板 作 业 P3练习 P5练习 所用教材 高等教育出版社《数学》第五册 备 注 P2~P5 编写日期：2010年 1月 25日 教 案 纸 教 学 内 容 备 注 板书设计: §1-1 复合函数与初等函数 一、复合函数 XXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX 二、初等函数 XXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXXXXXXXXXXXXXX 复习提问：（10分钟） 函数的定义、定义域、区间？ 幂函数、指数函数、对数函数的概念？ 导入新课：（5分钟） 在我们所学过的函数中，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数是最常见的，也是最基本的函数。而在实际中遇到的函数远不止这些。例如：是由常数的乘积再与求和后构成的函数。再如：由又可以合成函数，它们都是初等函数。下面我们从复合函数讲起，最后再来研究初等函数。 讲授新课：（65分钟） 一 复合函数 定义：设y是u的函数，记作y=f(u),而u又是x的函数，记作，那么y通过u的联系成为x的函数，记作,这种由复合而成的函数叫做复合函数，其中u叫做中间变量。例如： 的复合 北京市工贸技师学院 第 1 页 共 4 页 教 案 纸 教 学 内 容 备 注 函数，V是中间变量。 例1、将下列各题中的y表示成x的函数，并求定义域。 1 2 解1 由，得复合函数 ∵ 即 ∴函数的定义域为 2 由 得复合函数 ∵ 即 ∴函数的定义域为R 2．复合函数的中间变量可以不止一个。例如：由 复合得 。同样也可以将一个复合函数进行分解。 例2、分解下列函数： 1 2 3 解1 是由复合而成的 2 是由 ， ，复合而成的 3 是由 ，复合而成的 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数 例如 ，，就不可以复合成一个函数，因为u是真数，必须大于0，所以使无意义。 二 初等函数 定义：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合步骤所构成、并能用一个解析式表示的函数叫初等函数。例如： 北京市工贸技师学院 第 2 页 共 4 页 教 案 纸 教 学 内 容 备 注 ， ，等都是初等函数，本教材所讨论的多是初等函数。 例3、将直径为d的圆木锯成截面为矩形的木料，如图所示，列出截面两边边长之间的函数关系。 解：由勾股定理得 解出 ∵y0 ∴所求关系式为 它的定义域为（0，d） 例4、利用三角函数的图象作函数的图象， 解：∵ ∴只要将在的图象上所以的纵坐标为负值的换成正值即可。 课堂练习（10分钟） P3 练习：1 ① ④，2 ② ③ 小结：（ 3分钟） 本次课主要讲了复合函数和初等函数，同学们要重点弄清以 下两点： ⒈不是任何两个函数都可以复合成一个函数的意义 ⒉会用区间表示函数的定义域 北京市工贸技师学院 第 3 页 共 4 页 教 案 纸 教 学 内 容 备 注 作业及预习：（2分钟） 作业：P3 练习：1 ② ③，2 ① ④ P5 练习：1 预习：函数的极限 教学后记: 复合函数的合成相对容易一些，而复合函数的分解有难 度，分解时容易出错，需要多练习。