函数的零点一轮复习微专题(黄冈中学).docVIP

PAGE 微专题“函数的零点”教学环节 第一环节：一题多变 数形结合探零点 高考中，大多数的零点问题基本都要用到数形结合的思想来求解，而直接运用数形结合的思想来探究零点问题多以小题的形式呈现，而且以分段函数的形式居多，为了贴近高考，此环节设置的例题和变式题的函数形式都为分段函数． 例题1（解析式与分段点均确定的零点问题）：设函数，则函数的零点为_____． 变式1：【2014福建，文15】函数的零点个数是_________． 设计意图：此问题由学生课前预习完成，帮助学生回顾函数零点问题的处理方法：一个原理、两种方法、三种转换．让学生意识到对于分段函数来说，还得根据每一段的定义域来求零点．为后面变式探究打下基础． 小结：在师生的共同探讨下，收获如下：解析式确定的零点问题，不管是不是分段函数，零点问题概括起来就是一个原理——零点存在性定理，两种方法——解出来或画出来；三种转化——转化为型，型或者型．而分段函数的零点在此基础上还要结合各段的定义域去确定零点．所蕴含的思想方法有：函数与方程、数形结合、转化与化归． 变式2（解析式确定，分段点不定的零点问题）：设函数，若函数有两个零点，则的取值范围是_________． 设计意图：在例题1解析式的基础上将分段点改为不确定的情况去探求零点．该题由学生先思考后展示，经教师补充后共同提炼出两种解法：一是先分别作出两段函数在R上的图象，再通过分段点的左、右移动来取舍左、右两段函数的图象，进而确定满足条件的分段点的位置．二是通过解方程计算两段函数零点的取值为，找到讨论的标准，对分类讨论来求解． 变式3（解析式不定，分段点确定的零点问题）： 【2015北京，文14】设函数．若恰有2个零点，则实数的取值范围是______． 设计意图：在例题1的基础上将解析式改为不确定的情况，图象不定，难度较大．可让学生先思考然后说出自己的解题方法再计算，最后请代表展示，教师点评．师生共同整理出对于含参的分段函数零点的最优解法：首先在每段中求零点，分析零点与分段点的位置关系找到参数的分类标准，然后将零点进行等价转化，再运用分类讨论的思想，结合图象找限制条件．通过此变式让学生体会如何从复杂的情境中准确的找到问题的切入点，同时复习数形结合、分类讨论、等价转化的数学思想． 在例1以及3道变式题的基础上，挑选练习题，进一步巩固如何运用数形结合的思想来求解零点问题． 练习1：【2015天津，文8】已知函数，函数，则函数的零点个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 设计意图：分段函数中加绝对值，目标函数也变得复杂，但是求解的方法却更加灵活、多样．通过此题进一步巩固变1知识，同时训练学生的解题思维．具体有三种做法：一是利用图象的对称变换、平移变换等知识，分别作出与的草图，从图象中发现两个函数的图象有两个交点；二是求出函数的解析式，在每一段中按照例1或变1的方法求零点；三是构造函数，将此问题转化为求与的交点个数． 练习2：【2016天津，文14】已知函数在R上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是_________． 设计意图：设置练习2的目的为：巩固分段点不定零点问题的求法，让学生感受获得知识的喜悦，考查学生对此类问题的掌握和理解情况．练习2难度较大，命制中增加了2个限制条件，一是由函数的单调性限制了参数的范围，二是目标函数中增加了绝对值符号，即解题中需结合函数的翻折变换，利用数形结合的思想找限制条件．通过此题让学生体会解决此类零点问题的难点并不是零点问题的转化，而是如何通过画图、通过图象的变换，找到的限制条件．同时还要注意解题细节，直线与曲线相切也符合题意． 第二环节：拾级而上 借用导数探零点 函数的图象有时并不能直接画出，或分情况画出，必须通过求导讨论单调性才能画出，进而探究零点．所以导数在探究零点问题中的工具作用不容小觑，而且这是新课标文科卷近年来考查的热点，通常以解答题的形式呈现，考查的都是非分段函数的零点，并未涉及到分段函数． 例题2：（必修1，88页例1改编）判断函数的零点个数． 方法一：因为，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又因为当接近时函数值为正数，同时，结合的图象（图1）可知的零点有2个． 方法二：判断函数的零点个数，即判断方程根的个数，即判断函数与函数的交点个数，由图2可知，它们的交点有两个，所以的零点有2个． 设计意图：通过例题2进一步巩固第一环节中解决零点问题的方法，即一个原理，两种方法，三种转化．同时指出不同之处为：不再是分段函数，函数的单调性必须借助于求导才能判断．由学生课前完成． 变式1：判断函数的零点个数． 方法一：因为参数在常数项的位置，它是例2中的函数经过上下