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高中数学必修1 函数值域、定义域、解析式专题 一、函数值域的求法 1、直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。 例1：求函数的值域。 例2：求函数的值域。 2、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。 例1：求函数（）的值域。 例2：求 函 数 的 值域。 例3：求函数的值域。 3、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。 例1：求函数的值域。 例2：求函数的值域． 例3：求函数得值域. 4、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求解。 例1：求函数的值域。 例2： 求 函 数的 值 域。 5、判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。注：由 判 别 式 法 来 判 断 函 数 的 值 域 时，若 原 函 数 的 定 义 域 不 是 实 数 集 时，应 综 合 函数 的 定 义 域 ， 将 扩 大 的 部 分 剔 除。 例1：求函数的值域。 例2：求函数的值域。 例3：求函数的值域． 6、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。 例1：求函数的值域。 例2：求函数的值域。 例3：求 函 数的 值 域。 7、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。 例1：求函数的值域。 例2：求函数的值域。 例3：求函数的值域。 8、非负数法 根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。 例1、(1)求函数的值域。 (2)求函数的值域。 9、“平方开方法” （1）.适合采用“平方开方法”的函数特征 设（）是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征： （1）的值总是非负，即对于任意的，恒成立； （2）具有两个函数加和的形式，即（）； （3）的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即 （，为常数）， 其中，新函数（）的值域比较容易求得. （2）.“平方开方法”的运算步骤 若函数（）具备了上述的三个特征，则可以将先平方、再开方，从而得到（，为常数）.然后，利用的值域便可轻易地求出的值域.例如，则显然. （3）.应用“平方开方法”三例 能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧. 例1：求函数（，）的值域. 例2：求函数（，，）的值域. 例3：求函数 的值域 10、一一映射法 原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。 例1：求函数的值域。 例2 ：求函数的值域。 二、函数定义域 例1：已知函数的定义域为，求的定义域． 例2：已知函数的定义域为，求函数的定义域． 例3：若的定义域为，求的定义域． 例4：若函数f(x+1)的定义域为[－，2]，求f(x2)的定义域． 例5：求下列函数的定义域： ；② ；③ 例6：求下列函数的定义域： ② ④ 例7：若函数的定义域为[(1，1]，求函数的定义域 例8：已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。 例9：已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域 三、解析式的求法 1、配凑法 例1：已知 ：，求f(x)； 例2 ：已知 ，求 的解析式． 2、换元法（注意：使用换元法要注意的范围限制，这是一个极易忽略的地方。） 例1：已知：，求f(x); 例2：已知：，求。 例3 ：已知，求． 3、待定系数法 例1.已知：f(x) 是二次函数，且f(2)=-3, f(-2)=-7, f(0)=-3，求f(x)。 例2：设是一次函数，且，求． 4、赋值（式）法 例1：已知函数对于一切实数都有成立，且。 (1)求的值； (2)求的解析式。 例2：已知：，对于任意实数x、恒成立，求． 5、方程法