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高等数学 知识整理 A 第一章 极限与连续 一、函数 1、函数的定义与要素 （定义域、对应法则；函数相等的条件） 2 、函数的性质：单调性，奇偶性，周期性，有界性 *单调性的定义 （以递增为例）： x , x D ，若x ＜x 时f (x )  f (x )，则f (x)在D 上单调递增；将 改为＜，则 1 2 f 1 2 1 2 f f (x)在D 上严格单调递增。f *有界的定义：M＞0，对于x A D ，都有| f (x) | M，则f (x)在A上有界。 f f(x)≥m R f(x) （ ∈ ，则 下有界；反之则上有界。只有既上有界又下有界的函数才是 有界函数。） 3、函数的运算：四则运算、复合运算、反函数 *题型：判断某个函数由哪些基本初等函数复合而成。 * y x f(x) 反函数存在的可能情况：① 与 一一对应；② 是某区间上的严格单调函数 （反函数的单调性与原来的函数相同） 1 1 * D 1 R ；当x D 时，f (f (x)) x；当x R 时，f (f (x)) x。 f f f f 4 6 、初等函数：包括 大基本初等函数 （常数函数、幂函数、指数函数、对数函 数、三角函数、反三角函数）以及它们的有限次四则、复合运算构成的函数。 二、数列的极限 1、数列的定义及表示方法 2 、数列的性质：单调性、有界性 3 ε-N N 、数列极限的定义： 语言 （存在性命题要学会寻找充分条件，即增加对 N 的限制，从而找到 ；绝对值不等式与不等式放缩也很重要） 4 、极限的四则运算 5、无穷小量的性质 （1）若lim a A，则{a  A}是无穷小量。（一种证明极限的方法） n n n 2 （）有限个无穷小量相加、相乘还是无穷小量。 3 （）无穷小量乘以有界量还是无穷小量。 6、收敛数列的性质 1 （）收敛数列必然有界 2 （）收敛数列的任一子列与该数列收敛于同一极限。 （☆逆否命题：如果一个 数列有发散子列或是有两个极限不同的收敛子列，则该数列发散。） 3 （）夹逼性 （注意夹条件与逼条件） 若lim a A＞0，则必然存在N，当n＞N时，a ＞0. （4 ）*保号性： （小于0 类似） n n n 7、无穷大量的两个定义： 1 1 （1）若{ }为无穷小量，则{a }为无穷大量； n a n （2）K＞0，N，当n＞N时，| a | ＞K。 n 8、数列收敛的判定方法与极限的求解 1 （）利用极限的定义 （先知道极限才能使用，技巧性略强） 2 （）单调有界数列必收敛 （不能同时求出极限，往往用于递推式） 3 （）利用子列的收敛性 （可以直接得出极限，逆否命题常用于判断发散） 4 （）柯西收敛准则 （不能同时求出极限，往往用于求和式） 5 Stolz （） 定理：