2015嘉定高三数学(理)二模试卷参考 答案与评分标准(教研员版).docVIP

PAGE PAGE 2 2014学年嘉定区高三年级第二次质量调研 数学试卷（理）参考答案与评分标准 一．填空题（本大题有14题，每题4分，满分56分） 1．或 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14． 二．选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分） 15．B 16．D 17．C 18．C 三．解答题（本大题共有5题，满分74分） 19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． （1）由题意，， 因为，所以，故，……（2分） 解得（舍），或． ………………（5分） 所以，． ………………（6分） （2）由正弦定理，，得，所以． ………（2分） 因为，由，得， …………（4分） 又，所以△的面积． …………（6分） 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． EPACDB（1）连结，由已知得△与 E P A C D B 所以，，， ………………（1分） 因为∥，所以，……………（2分） 又平面，所以，……（4分） 因为，所以平面．…（6分） （2）以为原点，，，所在直线 分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系． 由（1）知平面的一个法向量为， 又，，，， 所以，，……（2分） EPACDB E P A C D B z x y 由得 取，则，故， …………（4分） 设与的夹角为， 则．…………（7分） 所以，平面与平面所成的锐二面角大小的余弦值为．……（8分） （2）解法二（图略） 在平面上，过作∥且，连结，则四边形是平行四边形，即直线是平面与平面的交线．………………（2分） 因为，，所以平面，故， 所以，又，所以就是平面与平面所成二面角的平面角． …………（5分） 在△中，，，…………（6分） ． ……………………（7分） 所以，平面与平面所成的锐二面角大小的余弦值为．……（8分） 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分． （1）当时，； ………………（2分） 当时，因为，所以， ……………………（4分） 即的取值范围是． ……………………………………（5分） （2）当时，由（1），令，则， …………（1分） 所以 ………………（3分） 于是，在时是关于的减函数，在时是增函数， 因为，，由， 所以，当时，； 当时，， 即 ………………………………（6分） 由，解得． ………………………………（8分） 所以，当时，综合污染指数不超标． …………………………（9分） 22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． （1）设（），由，，故，， 因为，所以， …………（1分） ，故，……（2分） 又，故由得，所以，．……（3分） 所以，，，即△是等边三角形．………（4分） （2）由（1）知，，故，此时，点的坐标为，……（1分） 又△是直角三角形，故其外接圆圆心为，半径为，…………（3分） 所以，，，，， ……………………（5分） 所求椭圆的方程为． ……………………（6分） （3）由（2）得，因为直线过且不与坐标轴垂直，故可设直线的方程为： ，． ………………（1分） 由得， ………………（2分） 设，，则有，，……（3分） 由题意，，故直线的方向向量为， 所以直线的方程为， ………………（4分） 令，得 ．…（5分） 即直线与轴交于定点． 所以，存在点，使得、、三点共线． ………………（6分） （注：若设，由、、三点共线，得， 得．） 23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． （1）由（），得（）， 所以（）， 即（） ……………………（2分） 又，所以 ． ……………………（4分） （2），………………（2分） 所以， ． …………………………………………………………（5分） 所以，． （3）由（2），，因为，所以随着的增大而增大． ………………………………………………（1分） 若，则，化简得， …………（2分） 因为，所以，所以， ， ……………………………………（4分） 当，即时，取即可． …………（5分） 当，即时，记的整数部分为， 取即可． ……………………………………………………………（7分） 综上可知，对任意给定的，均存在，使得当时，（2）中的恒成立．