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函数解析式求法集锦(一).doc
求函数的解析式的方法
求函数的解析式是函数的常见问题,也是高考的常规题型之一,方法众多,下面对一些常用的方法一一辨析.
一.换元法:已知f(g(x)),求f(x)的解析式,一般的可用换元法,具体为:令t=g(x),在求出f(t)可得f(x)的解析式。换元后要确定新元t的取值范围。
例题1.已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.
练习1.若,求.
2.已知,求
二.配凑法:把形如f(g(x))内的g(x)当做整体,在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式,再把g(x)用x代替。 一般的利用完全平方公式
例题2.已知, 求的解析式.
练习3.若,求.
三.待定系数法:已知函数模型(如:一次函数,二次函数,指数函数等)求解析式,首先设出函数解析式,根据已知条件代入求系数
例3. (1)已知一次函数满足,图像过点,求;
(2)已知二次函数满足,,图像过原点,求;
(3)已知二次函数与轴的两交点为,,且,求;
(4)已知二次函数,其图像的顶点是,且经过原点,求.
练习4.设二次函数满足,且图象在y轴上截距为1,在x轴上截得的线段长为,求的表达式.
5. 设是一次函数,且,求
四.解方程组法:求抽象函数的解析式,往往通过变换变量构造一个方程,组成方程组,利用消元法求f(x)的解析式
例题4.设函数是定义(-∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式,求的解析式.
练习6.若,求.
7. 设为偶函数,为奇函数,又试求的解析式
五.利用给定的特性求解析式;一般为已知x0时, f(x)的解析式,求x0时,f(x)的解析式。首先求出f(-x)的解析式,根据f(x)=f(-x)或f(x)=-f(-x)求得f(x)
例题5设是偶函数,当x>0时, ,求当x<0时,的表达式.
练习8.对x∈R, 满足,且当x∈[-1,0]时, 求当x∈[9,10]时的表达式.
9.对x∈R, 满足,且当x∈[-1,0]时, 求当x∈[9,10]时的表达式.,记,求.
练习10.若,且,
求值.
七.相关点法;一般的,设出两个点,一点已知,一点未知,根据已知找到两点之间的联系,把已知点用未知点表示,最后代入已知点的解析式整理出即可。(轨迹法)
例题7:已知函数y=f(x)的图像与y=x2+x的图像关于点(-2,3)对称,求f(x)的解析式。
练习11.已知函数,当点P(x,y)在y=的图象上运动时,点Q()在y=g(x)的图象上,求函数g(x).
八.特殊值法;一般的,已知一个关于x,y的抽象函数,利用特殊值去掉一个未知数y,得出关于x的解析式。
例题8:函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0.求f(x)的解析式。
九.图像法;观察图像的特点和特殊点,可用代入法,或根据函数图像的性质进行解题。注意定义域的变化。
例题9.
图中的图象所表示的函数的解析式为( B )
A.
B.
C.
D.
总结:求函数的解析式的方法较多,应根椐题意灵活选择,但不论是哪种方法都应注意自变量的取值范围的变化,对于实际问题材,同样需注意这一点,应保证各种有关量均有意义。求出的函数的解析式最后要写上函数的定义域,这是容易遗漏和疏忽的地方。
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2
第7题图
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