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初一奥数竞赛绝对值.doc
初一奥数竞赛 第2讲 绝 对 值
例1 a,b为实数,下列各式对吗?若不对,应附加什么条件?
(1)|a+b|=|a|+|b|;
(2)|ab|=|a||b|;(3)|a-b|=|b-a|;
(4)若|a|=b,则a=b;
(5)若|a|<|b|,则a<b;
(6)若a>b,则|a|>|b|.
例2 设有理数a,b,c在数轴上的对应点如图1-1所示,化简|b-a|+|a+c|+|c-b|.
例3 已知x<-3,化简:|3+|2-|1+x|||.
例5 若|x|=3,|y|=2,且|x-y|=y-x,求x+y的值.
例6 若a,b,c为整数,且|a-b|19+|c-a|99=1,试计算|c-a|+|a-b|+|b-c|的值.
例8 化简:|3x+1|+|2x-1|.
例9 已知y=|2x+6|+|x-1|-4|x+1|,求y的最大值.
例10 设a<b<c<d,求|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值.
例11 若2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数,求x该满足的条件及此常数的值.
练习二
1.x是什么实数时,下列等式成立:
(1)|(x-2)+(x-4)|=|x-2|+|x-4|; ( 2)|(7x+6)(3x-5)|=(7x+6)(3x-5).
2.化简下列各式: (2)|x+5|+|x-7|+|x+10|.
3.若a+b<0,化简|a+b-1|-|3-a-b|.
4.已知y=|x+3|+|x-2|-|3x-9|,求y的最大值.
5.设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|,其中0<p<15,对于满足p≤x≤15的x来说,求T的最小值
6.已知a<b,求|x-a|+|x-b|的最小值.
7.不相等的有理数a,b,c在数轴上的对应点分别为A,B,C,如果|a-b|+|b-c|=|a-c|,那么B点应为( ).
(1)在A,C点的右边; (2)在A,C点的左边; (3)在A,C点之间; (4)以上三种情况都有可能
答案解析:
例1解 (1)不对.当a,b同号或其中一个为0时成立. ( 2)对. (3)对. (4)不对.当a≥0时成立.
(5)不对.当b>0时成立.6)不对.当a+b>0时成立.
例2解 由图1-1可知,a>0,b<0,c<0,且有|c|>|a|>|b|>0.根据有理数加减运算的符号法则,有b-a<0,a+c<0,c-b<0.
再根据绝对值的概念,得 |b-a|=a-b,|a+c|=-(a+c),|c-b|=b-c.
于是有 原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c.
例3分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题,可从里往外一层一层地去绝对值符号.
解 原式=|3+|2+(1+x)||(因为1+x<0)
=|3+|3+x||
=|3-(3+x)|(因为3+x<0)
=|-x|=-x
例4解 因为 abc≠0,所以a≠0,b≠0,c≠0.
(1)当a,b,c均大于零时,原式=3;
(2)当a,b,c均小于零时,原式=-3;
(3)当a,b,c中有两个大于零,一个小于零时,原式=1;
(4)当a,b,c中有两个小于零,一个大于零时,原式=-1.
说明 本例的解法是采取把a,b,c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的,这种解法叫作分类讨论法,它在解决绝对值问题时很常用.
例5解 因为|x-y|≥0,所以y-x≥0,y≥x.由|x|=3,|y|=2可知,x<0,即x=-3.
(1)当y=2时,x+y=-1;
(2)当y=-2时,x+y=-5.
所以x+y的值为-1或-5.
例6解 a,b,c均为整数,则a-b,c-a也应为整数,且|a-b|19,|c-a|99为两个非负整数,和为1,所以只能是
|a-b|19=0且|c-a|99=1, ①
或
|a-b|19=1且|c-a|99=0. ②
由①有a=b且c=a±1,于是|b-c|=|c-a|=1;由②有c=a且a=b±1,于是|b-c|=|a-b|=1.无论①或②都有
|b-c|=1且|a-b|+|c-a|=1,
所以
|c-a|+|a-b|+|b-c|=2.
例7解 依相反数的意义有 |x-y+3|=-|x+y-1999|.
因为任何一个实数的绝对值是非负数,所以必有|x-y+3|
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