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初一奥数竞赛 第2讲 绝 对 值 例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ 　　(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜； 　　(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜； 　　(4)若｜a｜=b，则a=b； 　　(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b； 　　(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜． 例2 设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜． 例3 已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜． 　　 　　例5 若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值． 　　　 　　例6 若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值． 　　 　　　　 　　例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜． 　　 　　例9 已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值． 　　 　　例10 设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值． 　　 　　例11 若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值． 　　 练习二 　　1．x是什么实数时，下列等式成立： (1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜； ( 2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)． 2．化简下列各式： (2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜． 　　3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜． 　　4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值． 　　5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，求T的最小值 　　6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值． 7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )． (1)在A，C点的右边； (2)在A，C点的左边； (3)在A，C点之间； (4)以上三种情况都有可能 答案解析： 例1解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立． ( 2)对． (3)对． (4)不对．当a≥0时成立． (5)不对．当b＞0时成立．6)不对．当a＋b＞0时成立． 例2解 由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0． 　　再根据绝对值的概念，得 ｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c． 于是有 原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c． 例3分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号． 　　解 原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0) 　　　　　 =｜3+｜3+x｜｜ 　　　　　 =｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0) 　　　　　 =｜-x｜=-x 例4解 因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0． 　　(1)当a，b，c均大于零时，原式=3； 　　(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3； 　　(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1； 　　(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1． 说明 本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用． 例5解 因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3． 　　(1)当y=2时，x+y=-1； 　　(2)当y=-2时，x+y=-5． 　　所以x+y的值为-1或-5． 例6解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是 　　 　 　｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1， ① 　　或 　　　　　｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0． ② 　　由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有 ｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1， 　　所以 ｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2． 例7解 依相反数的意义有 ｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜． 　　因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜