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初等几何研究试题答案(一)(李长明版).doc
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初等几何研究试题答案(I)
一、线段与角的相等
1. ⊙O1、⊙O2相交于A、B,⊙O1的弦BC交⊙O2于E,⊙O2的弦BD交⊙O1于F,
求证: (1)若∠DBA=∠CBA,则DF=CE;
(2) 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA.
证明:(1)连接AC、AE、AF、AD
在⊙O1中,由∠CBA=∠DBA得AC=AF
在⊙O2中,由∠CBA=∠DBA得AE=AD
由A、C、B、E四点共圆得∠1=∠2
由A、D、B、E四点共圆得∠3=∠4
所以△ACE≌△AFD
∴DF=CE
(2)由(1)得∠1=∠2,∠3=∠4
∵DF=CE
∴△ACE≌△AFD
∴AD=AE
在⊙O2中,由AD=AE可得∠DBA=∠CBA
2. 在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90O ,D是AC上的一点,AE⊥BD的延长线于E,又AE=BD,求证:BD平分∠ABC.
证明:延长AE,BC交于点F
3. 已知在凸五边形ABCDE中,∠BAE=3,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180o-2,
求证:∠BAC=∠CAD=∠DAE.
证明:连接BD,得ΔCBD是等腰三角形
且底角是∠CDB=[180o-(180o-2)]÷2=.
∴∠BDE=(180°-2)-=180o-3
∴A、B、D、E共圆
同理A、C、D、E共圆
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE
4. 设H为锐角△ABC的垂心,若AH等于外接圆的半径.
求证:∠BAC=60o
C
C
证明:过点B作BD⊥BC,交圆周于点D,连结CD、AD
∵∠DBC=90o, ∴CD是直径,则∠CAD=90o
由题,可得AH⊥BC, BH⊥AC
∴BD∥AH, AD∥BH ∴四边形ADBH是□
∴AH=BD
又∵AH等于外接圆的半径(R) ∴BD=R,而CD=2R
∴在Rt△BCD中,CD=2BD,即∠BCD=30o
∴∠BDC=60o
又∵∠BAC=∠BDC ∴∠BAC=∠BDC=60o
5. 在△ABC中,∠C=90o,BE是∠B的平分线,CD是斜边上的高,过BE、CD之交点O且平行于AB的直线分别交AC、BC于F、G,求证AF=CE.
证明:如图∵∠1=∠3,∠1=∠2.∴∠2=∠3,∴GB = GO,
∵ ∠5=∠4=∠6,∴CO =CE,
∵ FG∥AB,∴AF/CF=BG/CG=GO/CG,
又∵△FCO∽△COG,∴CO/CF=GO/CG=AF/CF,
∴CO=AF,∵CO=CE,∴AF=CE.
6. 在△ABC中,先作角A、B的平分线,再从点C作上二角的平分线值平行线,并连结它们的交点D、E,若DE∥BA,求证:△ABC等腰.
证:如图所示
设AC、ED的交点为F
∵AD是∠A的平分线 ∴∠1=∠2
∵DE∥AB ∴∠1=∠3
∵CE∥AD ∴∠3=∠5, ∠4=∠2
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5
则△FAD和△FCE是等腰三角形
∴AF=DF,EF=CF
∴AC=DE
同理可证 BC=DE
∴AC=BC
∴△ABC是等腰三角形
7. 三条中线把△ABC分成6个三角形,若这六个三角形的内切圆中有4个相等.
求证:△ABC是正三角形.
证明:∵△AOF、△AOE、△COD、△COE、△BOF、△BOD面积都相等
∴S△OFB=S△OEC
即:BF×r+FO×r+BO×r=CE×r+OE×r+OC×r
(BF+FO+BO)×r= (CE+OE+OC)×r
∴BF+FO+BO=CCE+OE+OC
∴CE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ
∴2DH+2BH=2FK+2CK
∴2BF=2CE
又F、E分别为AB、AC之中点
∴AB=AC
同理:AB=BC
故△ABC是正三角形.
8. 平行四边形被对角线分成四个三角形中,若有三个的内切圆相等
证明:该四边形为菱形.
证明:又∵△AOB、△BOC 、△COD、△DOA四个三角形的面积相等
∴四边形为菱形
9. 凸四边形被对角线分成4个三角形,皆有相等的内切圆,求证:该四边形是菱形 .
AB
A
B
D
C
P
N
O1
O2
O
O3
O4
M
Q
证明:连结O1 、O2,分别作O1 、O2到
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