- 1、本文档共7页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
- 5、该文档为VIP文档,如果想要下载,成为VIP会员后,下载免费。
- 6、成为VIP后,下载本文档将扣除1次下载权益。下载后,不支持退款、换文档。如有疑问请联系我们。
- 7、成为VIP后,您将拥有八大权益,权益包括:VIP文档下载权益、阅读免打扰、文档格式转换、高级专利检索、专属身份标志、高级客服、多端互通、版权登记。
- 8、VIP文档为合作方或网友上传,每下载1次, 网站将根据用户上传文档的质量评分、类型等,对文档贡献者给予高额补贴、流量扶持。如果你也想贡献VIP文档。上传文档
查看更多
华中师范大学常微分习题 8(七).doc
习 题 8—2
1.证明:线性方程零解的渐近稳定性等价于它的全局渐近稳定性
证 只需证 ①的零的解渐近稳定①的零解全局渐近稳定。
事实上,只需证:若 ,当且
则对一切有
同为
所以
当 故对任何解 有
故得让
解 方程满足初值条件 的解为
当, 存在,
故当 是有界的,设它的界为M,即当
于是对,取,则当时,,
有 所方议程的零解是稳定的.
反之,若方程的零解是稳定的,容易推出
(2)当时, .同而当时,是有界的,即存在 时,有于是对,取.则当时, 就有 ,且
所以方程的零解的是稳定的.
反之,若方程的零解是渐近稳定的,容易推出.
3.对于极坐标下的方程.
Q=1,
试做出原点附近的排图,并研究平均衡点 的稳定性质.
解 是方程的一个奇点,它的特解族 K=1, 2,…是以为半径以(0,0)为圆心的同心圆族,逆时针运行.在内部,无穷多个同心圆轨道中.相邻两个同心圆之间的环域出发的轨道亦绕(0,0)逆时针旋转
且 时, , 时, .
,.
其中,由每个环域的轨线之向径是严格单调函数,所以除外,已无别拼闭轨。显然,平衡点是稳定的,但不是渐近稳定的。
4.设二阶常系数线性方程式 ① 其中A是一个2×2的常短阵,
记(短阵A的迹反号) (短阵A的行列式)再设,试证:(1)当,零解是渐近稳定的;(2)当时,零解是稳定的,但不是渐近稳定的;(3)在其他情形下,零解都是不稳定的。
证 设线性方程①为
则特征方程为
②记
则②变为
特征根为 于是(1)当, 故由定理8.0, 1)知零解是渐近稳定的
2)当且 时, 或且时,,显然特征根所对应的若当块都是一阶的,故由定理8.1 2)知,零解是稳定的。
3)在其他情形下,即。不论取何值,特征根中至少有一个实部为正,或,,,故特征根至少有一个为正实根,又由,所以不会出现,,故由定理8.1 3)知,零解都是不稳定的。
5.讨论二维方程 的零解的稳定性,其中函数在(0,0)点附近是连续可微的。
解 因为在(0,0)点附近是连续可微的。从而方程的右端也是连续可微的,因而原方程组的由初始条件所确定的解,在原点的某个领域内存在且惟一,是方和组的特解,取,则其通过方程组的全导数
因此,在原点的领域内如,则定负零解为渐近稳定;如,则定正,零解为不稳定;如则,则常负,零解为稳定。
6.设函数连续,且.当.试证方程 的零解是稳定的,但不是渐近稳定的.
证 令,则原方程可化为与之等价的方程但
取定正函数 (由条件知,它是定正函数).其中 ,当时, ,则有
故由定理8.4知.方程组的零解是稳定的,但不渐近稳定。
7.讨论下列方程零解的稳定性
1) ,
2) ,
3) ,
4) ,
解1)取定正函数散 ,
则 常负,故方程组的零解是稳定的。
2)取定正函数
则
定负,故方程组的零解是
4) ,
解1)取定正函数散 ,
则 常负,故方程组的零解是稳定的。
2)取定正函数
则
定负,故方程组的零解是渐近稳定的。
3)取定正函数 则
当时, 定负,故零解是渐近稳定的。
4)取 则
由此可知,是正定函数,而是变号函数,所以方程组的零解是不稳定的。
习 题 8—3
1.判断下列方程的奇点(0,0)的类型,并作出该奇点的附近的相图:
1);
2) ;
3) ;
4) ;
解 1)0(0,0)为系统的惟一奇点,特征方程为
特征根 ,实部,故奇点为中心点。
2.该系统的一次近似系统为
,
特征方程
特征根 为大于零的相异的实数,所以一次近系统的奇点
0(0,0)是不稳定两向结点。又
当;、在原点的一个小领域内对连续可微,故由定理8.6知,原系统的奇点0(0.0)也是不稳定两向结点。
3)令系统右端等于零,得 求得惟一奇点0(0.0).
将与分别在按泰勒分式展开得
其中满足定理8.6的条件,上述系统的一次系统为
特征方程
特征方程
因而一次近似系统的奇点0(0.0)为鞍点,由定理8.6知,原系统的奇点0(0.0)也是鞍点。
4)原系统可写为
其中 。 它的一次近似系统
特征方程为
特征根
由于。 故矩阵的标准列为
所以一次近似系统的奇点0(0,0)是不稳定的单向结点,又,当,故由定理8.6知,原系统的奇点0(0,0)也是不稳定的单向结点。
2.设函数在单连通区域口内连续可微,且,
当。
试证系统,在口内不存在闭轨线。
证
文档评论(0)