高等代数(第三版 石生明)第四节.ppt

主要内容 第四节 矩阵相似的条件 引理 矩阵相似的条件 一、引理 在求一个数字矩阵 A 的特征值和特征向量时曾 出现过 ? - 矩阵 ?E - A，我们称它为 A 的特征矩阵. 这一节的主要结果是证明两个 n ? n 数字矩阵 A 和 B 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵 ?E - A 和 ?E - B 等价. 为了证明这一结论，先来证明下面 两个引理. 引理 1 如果有 n ? n 数字矩阵 P0 , Q0 使 ?E - A = P0( ?E - B ) Q0 ， (1) 则 A 与 B 相似. 证明 因 P0( ?E - B ) Q0 = ?P0Q0 - P0BQ0 ， 它又与 ?E - A 相等，进行比较后应有 P0Q0 = E， P0BQ0 = A . 由此 Q0 = P0-1，而 A = P0BP0-1 . 故 A 与 B 相似. 引理 2 对于任何不为零的 n ? n 数字矩阵 A 和 ? - 矩阵 U(?) 与 V(?) ，一定存在 ? - 矩阵 Q(?) 与 R(?) 以及数字矩阵 U0 和 V0 使 U(?) = ( ?E - A ) Q(?) + U0 ， (2) V(?) = R(?) ( ?E - A ) + V0 ， (3) 证明 把 U(?) 改写成 U(?) = D0?m + D1?m -1 + … + Dm -1? + Dm . 这里 D0 , D1 , … , Dm 都是 n ? n 数字矩阵，而且 D0 ? 0 . 如 m = 0，则令 Q(?) = 0 及 U0 = D0 ，它 们显然满足引理 2 要求. 设 m 0，令 Q(?) = Q0?m -1 + Q1?m -2 + … + Qm -2? + Qm -1 . 这里 Qj 都是待定的数字矩阵. 于是 ( ?E - A ) Q(?) = Q0?m + (Q1 - AQ0)?m -1 + ... + (Qk - AQk-1)?m -k + ... + (Qm -1 - AQm -2)? - AQm - 1 . 要想使等式 U(?) = ( ?E - A ) Q(?) + U0 成立，只需取 Q0 = D0 ， Q1 = D1 + AQ0 ， Q2 = D2 + AQ1 ， ………… Qk = Dk + AQk-1 ， ………… Qm-1 = Dm-1 + AQm-2 ， U0 = Dm + AQm-1 . 就行了. 用完全相同的办法可以求得 R(?) 和 V0 . 证毕 二、矩阵相似的条件 定理 7 设 A, B 是数域 P 上两个 n ? n 矩阵. A 与 B 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵 ?E - A 和 ?E - B 等价. 证明 由 可知 ?E - A 与 ?E - B 等价就是有可逆的 ? - 矩阵 U(?) 和 V(?) 使 ?E - A = U(?) ( ?E - B ) V(?) . (4) 先证必要性 设 A 与 B 相似，即有可逆矩阵 T 使 A = T-1BT . 于是 ?E - A = ?E - T-1BT = T-1 (?E - B ) T ， 从而 ?E - A 与 ?E - B 等价. 再证充分性 设 ?E - A 与 ?E - B 等价，即有 可逆的 ? - 矩阵 U(?) 和 V(?) 使 ?E - A = U(?) ( ?E - B ) V(?) (4) 成立. 由 存在 ? - 矩阵 Q(?) 和 R(?) 以及数字矩阵 U0 和 V0 使 U(?) = ( ?E - A ) Q(?) + U0 ， (5) V(?) = R(?) ( ?E - A ) + V0 ， (6) 成立. 把 ?E - A = U(?) ( ?E - B ) V(?) 改写成 U-1(?)(?E - A)= ( ?E - B ) V(?) ， 式中的 V(?) 用 (6) 代入，再移项，得 [U-1(?) - (?E - B) R(?)] (?E - A) = (?E - B) V0 . 右端次数等于 1 或 V0 = O，因此 U-1(?) - (?E - B) R(?) 是一个数字矩阵(后一种情况下应是零矩阵)，记作 T，即 T = U-1(?) - (?E - B) R(?)， T (?E - A) = (?E - B) V0 . (7) 现在我们来证明 T 是可逆的. (由