二元连续函数的几何意义.PPT

小结 * §3 二元函数的连续性 二 有界闭域上连续函数的性质 一 二元函数的连续性概念 一、二元函数的连续性概念 若 f (X) 在 D 上每一点都连续, 则称 f (X) 在 D 上连续, 记为 f (X) ? C (D). 易知, 例2中 f (x, y)在(0, 0)间断(极限不存在), 每一点都间断. 设 显然 f 在原点处不连续. 但 所以 f ( x, 0 ) 在 x =0 连续. f ( 0, y ) 在 y =0 连续. 与一元函数的性质类似，若二元函数在某一点连续， 那么在这一点也有局部有界性、局部保号性、 有理运算的各个法则以及复合函数的连续性. 例1 求极限 解 是多元初等函数。 定义域： 于是， （不连通） 例2 解 例3 讨论函数 在(0,0)处的连续性． 解 取 故函数在(0,0)处连续. 当 时 例4 讨论函数 在(0,0)的连续性． 解 取 其值随k的不同而变化， 极限不存在． 故函数在(0,0)处不连续． 二元连续函数的几何意义: 定义在区域 D 上的二元连续函数z = f (X) = f (x, y)表示了在D上的一片没有 空洞, 没有 裂缝 的连续曲面. 这里条件 D 是一区域 是必要的. 若D不是区域, z = f (X)可能不是通常意义下的连续曲面. 例. 设 D = {(x, y) | x, y 均为有理数}? R2. z =f (x, y)是定义在 D 上的, 在 D 上恒等于1, 在别的点上无定义的函数, 即 f (x, y) = 1, 当(x, y) ? D时, 无定义, 当(x, y) ? D时. 如图 x y z o 1 可知, ? (x0, y0) ? D, 但曲面z = f (x, y)不是通常意义下的连续曲面. 二、有界闭域上连续函数的性质