- 1、本文档共20页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
- 5、该文档为VIP文档,如果想要下载,成为VIP会员后,下载免费。
- 6、成为VIP后,下载本文档将扣除1次下载权益。下载后,不支持退款、换文档。如有疑问请联系我们。
- 7、成为VIP后,您将拥有八大权益,权益包括:VIP文档下载权益、阅读免打扰、文档格式转换、高级专利检索、专属身份标志、高级客服、多端互通、版权登记。
- 8、VIP文档为合作方或网友上传,每下载1次, 网站将根据用户上传文档的质量评分、类型等,对文档贡献者给予高额补贴、流量扶持。如果你也想贡献VIP文档。上传文档
查看更多
利用均值不等式证明不等式.doc
1,利用均值不等式证明不等式
(1)均值不等式:设是n个正实数,记
它们分别称为n个正数的调和平均数,几何平均数,算术平均数,平方平均数。有如下关系:.等号成立的充要条件是。
先证
证法三:
上述不等式在数学竞赛中应用极为广泛,好的、难的不等式问题往往只需用它们即可解决,而无需过分追求所谓更“高级”的不等式,这是应该引起我们注意的。
例1:求证下列不等式:
(1),
(2)
(3),其中
证明(1)
当且仅当,即取等号。
证明(2)
∴
证明(3),同理
,三式相加得
另一方面,
同理,
三式相加得
说明:(1)中涉及到与常数相关的不等式的证明问题,通过变形使其出现互为倒数的因式,利用均值不等式证得。(3)中累加的方法是常用的处理手段。
例2:若且,求证:
证明:左边
例3:已知是正数,满足
求证:(89年联赛试题)
证明:,同理:,…
,将以上式子相乘即得证。
例4:,求证:
证明:由有
显然上式不可能取等号,故原不等式成立。
说明:注意到的表达式的结构特点,当一些正数的倒数和易于化简时,应考虑含的均值不等式。
例5:若,求证:
证明:由有
∵ ,∴上式不可能取等号。
故原不等式得证。
例6:设是1,2,…n的一个排列,求证:
证明:∵是1,2,…n的一个排列
∴
于是
=
而
所以
说明:由于不等式的左边值的估计较为不便,且右边由于排列的任意性导致若直接用均值不等式放缩则“度”太大了,所以本题采用在两边均加上的变形处理。
例7:设a,b,c为正实数,求证:
证明:
注:本题问题中由可以看得出给了均值定理的提示:,构造均值定理是本题的关键。
例8: ,求证:
证明 左边=
.
注:本题多次利用了均值不等式
本题也可以由,再处理.
例9:已知求证:
分析:通过放缩,将异分母化为同分母,从而构造成出一些“零件不等式”,最后,将这些“零件不等式”相加,即可得出原不等式的证明。
证明:
①
同理可得 ②
③
将①、②、③三个零件不等式相加,得
注:本题的技巧在于将三个异分母的分式放缩成三个同分母的分式,构造出“零件不等式”①、②、③。
例10:如图△ABC及其内接△DEF分原三角形所得△AEF、△BDF、△CDE中,至少有一个三角形的面积不大于原△ABC面积的(这里所指△ABC的内接三角形DEF,是顶点D、E、F分别在△ABC三条边上的三角形)
证明:如图,设△ABC三边BC=a,CA=b,AB=c,且AE=e,AF=f,BD=m,BF=n,DC=p,EC=q,逆用公式,并注意到,于是有??? ,??? ,??? ,??? 更注意到??? ?? 若S△CDE、S△AEF、S△BDF皆大于S△ABC的,(*)式不可能成立,故所给四个三角形面积中,至少有一个不大于
类似例子很多,望同学们在做题实践中,更多予以总结,不断提高自己的分析,归纳解题能力。
例11:已知,,,
求证:
证明:令,则,且
∴
∴
∴
说明:本题采用变量代换的方式清晰地展现了已知条件与结论表达式中变量的关系。
例12; 设,求证:,其中都
是非负整数,且
分析与解:欲证的不等式涉及到的量较多,为此先考察特殊情形:,即先证明,该不等式关于轮换对称,不妨设,则左-右
,故式成立
进一步分析发现,式本身无助于原不等式的证明,其证明方法也不能推广到原不等式,故需重新考虑式的具有启发原不等式证明的其它证法。
考虑常用不等式证明的方法发现,式可以利用“均值不等式”或证,即
同理:以上三个式相加即得式。
运用此法再考虑原一般问题就简单多了,仿上,
以上三个式相加即得待证不等式。
例13:设锐角满足,求证:
分析与解:由已知,立即联想到长方体得对角线公式:
,令,
以为棱构造长方体,则易知:,
同理:,
上面是从条件中隐含的数形关系中探索思考解题的途径,那么,从结论不等式中观察到什么呢?由,即是三个不等式相乘的结果,就可以再变化为:,这样也无需构造长方体模型,而采用下面的证法:
由,知
都是锐角,
同理:,
将上面三个不等式两边分别相乘,即得待证不等式
通过上例的求解分析过程,我们可以看到问题的本质.
例
文档评论(0)