高中数学——空间向量和立体几何练习题(附答案解析).doc

专业资料精心整理 下载可编辑 空间向量练习题 1. 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD 的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB; （Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小. 如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的 坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0）， P（0，0，2）, （Ⅰ）证明 因为， 平面PAB的一个法向量是， 所以共线.从而BE⊥平面PAB. 又因为平面PBE， 故平面PBE⊥平面PAB. (Ⅱ)解 易知 设是平面PBE的一个法向量，则由得 所以 设是平面PAD的一个法向量，则由得所以故可取 于是， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是 2. 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有 棱长都为2，D为CC1中点。 （Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD； （Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小； （Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离； （Ⅰ）证明 取中点，连结． 为正三角形，． 在正三棱柱中，平面平面， 平面． 取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，， ，，． ，， xzABC x z A B C D O F y 平面． （Ⅱ）解 设平面的法向量为． ，． ，， 令得为平面的一个法向量． 由（Ⅰ）知平面， 为平面的法向量． ，． 二面角的大小为． （Ⅲ）解 由（Ⅱ），为平面法向量， ． 点到平面的距离． ACDOBEyzx3.如图，在四面体ABCD中， A C D O B E y z x （1）求证：平面BCD； （2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值； （3）求点E到平面ACD的距离． ⑴ 证明 连结OC ，． 在中，由已知可得 而， ACDOB A C D O B E y z x ∴平面． (2)解 以O为原点，如图建立空间直角坐标系， 则 ， ∴ 异面直线AB与CD所成角的余弦值为． ⑶解 设平面ACD的法向量为则 ， ∴，令得是平面ACD的一个法向量． 又 ∴点E到平面ACD的距离 ． 4.已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=?AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点. （Ⅰ）证明：CM⊥SN； （Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小. 证明： 设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。 则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0）.……4分 （Ⅰ）, 因为， 所以CM⊥SN ……6分 （Ⅱ）, 设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量， 则 ……9分 因为 所以SN与片面CMN所成角为45°。 ……12分 5. 如图，在三棱柱中，已知侧面， （1）求直线C1B与底面ABC所成角正切值； （2）在棱（不包含端点上确定一点的位置, 使得(要求说明理由). （3）在（2）的条件下,若，求二面角的大小. 解：（1）在直三棱柱中， 在平面上的射影为. 为直线与底面所成角. ………… ， 即直线与底面所成角正切值为2. ………… （2）当E为中点时，. ，即 ………… 又， ，， ………… （3）取的中点，的中点，则∥，且， 连结，设，连结， 则∥，且 为二面角的平面角. ………… ， ∴二面角的大小为45° …………