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专题(六)函数与解析几何.doc
心里装着美好,眼里的世界就美好。
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只要是有人的地方,世界就不是冰冷的。
专题(六)解析几何与导函数
班级 姓名
一、转化为函数求最值
如图,点是椭圆的一个顶点,的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆于两点,交椭圆于另一点
(1)求椭圆的方程; (2)求面积取最大值时直线的方程.
x
x
O
y
B
l1
l2
P
D
A
(第21题图)
【答案】解:(Ⅰ)由已知得到,且,所以椭圆的方程是;
(Ⅱ)因为直线,且都过点,所以设直线,直线,所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截的弦;
由,所以
,所以
,
当时等号成立,此时直线
二、定点问题
已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线过定点.
【答案】解:(Ⅰ) A(4,0),设圆心C
(Ⅱ) 点B(-1,0), .
直线PQ方程为:
所以,直线PQ过定点(1,0)
定值问题
AUTONUM \* Arabic \* MERGEFORMAT .(2013年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值.
【答案】
存在性问题
AUTONUM \* Arabic \* MERGEFORMAT .(2013年高考北京卷(理))已知A、B、C是椭圆W:上的三个点,O是坐标原点.
( = 1 \* ROMAN I)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;
( = 2 \* ROMAN II)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.
【答案】解:( = 1 \* ROMAN I)椭圆W:的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分. 所以可设A(1,),代入椭圆方程得,即. 所以菱形OABC的面积是.
( = 2 \* ROMAN II)假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为.
由消去并整理得.
设A,C,则,.
所以AC的中点为M(,).
因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为.
因为,所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形,与假设矛盾.
所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.
一、利用导函数研究函数的单调性
已知函数其中g(x)的函数图像在点(1,g(1))处的切线平行于x轴。
确定a与b的关系;(2)若a0,试讨论函数g(x)的单调性。
函数的最值与极值
设函数
当k0时,求函数f(x)的单调性
若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围。
导数与不等式
已知函数f(x)=alnx+1(a0)
当x0时,求证:f(x)-1a;
在区间(1,e)上f(x)x恒成立,求实数a的取值范围。
导数与方程
已知函数
当a=2时,求f(x)的图像在x=1处的切线方程;
若函数g(x)=f(x)-ax+m在上有两个零点,求实数m的取值范围。
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